Bon comme nous sommes dans un corps le nombre de solution est au maximum 2 .Comme l'équation est de degré 2 , le nombre de solutions avec multiplicité est 0  ou  2  exactement.

Ici si z est solution alors 1/z aussi,
z=1/z  équivaut à  z = 1 jamais solution ou  z= -1 jamais non plus.
Donc le nombre de solution est  0  ou  2 exactement.
Ces remarques faites essayons de résoudre :
1) Z/13Z a pour système de représentant : { -6,..., 0,1,...6}  comme  -3 est solution évidente l'autre solution est 4 =1/(-3).

2) si  p= 2 il n'y a pas de solution (on se demande bien pourquoi l'énoncé veut éviter ce cas trivial).
Suivons alors les indications de l'énoncé pour  p>2 :  u_(n+3) = - u_n donc  u_(n+6)= u_n   la suite est périodique.....là je dois partir ...

erratum  z = -1  est bien sûr solution ssi  p =3

erreur de calcul  u_(n+3) = u_n  donc  3  est une période de la suite, par ailleurs  la suite est coosntante ssi on a une solution

trop pressé (je repars ) effectivement si 2 est une période on a aussi une solution.
Intéressant cet exercice : bon z'alors il faut que  les terms de la suite ne s'annule pas donc n'appartiennent pas à l'ensemble  {0,1} .
Va falloir compter les paquets de 2 et 3...

à +

ok  3 / p-2  ssi pas de solution ! Sinon 1 pour p= 3 et  2 autrement.

Très bien lol217 !!!

Bonjour

Voici une solution savante (peut-être trop?)

Si p=2, pas de solution, si p=3, 2 est racine double.

Les autres cas: ni 1 ni -1 ne sont solutions et si x²-x+1=0, en multipliant par x+1, on a x³=-1, et x⁶=1, donc x est un élément d'ordre 6 du groupe multiplicatif cyclique Z/(p-1)Z. Or un groupe cyclique possède un et un seul sous-groupe d'ordre d pour chaque diviseur d de son ordre.

Conclusion: si p n'est pas congru à 1 modulo 6, pas de solution. Si p1 (mod 6) les deux éléments d'ordre 6 de l'unique sous-groupe d'ordre 6 de Z/(p-1)Z sont les deux solutions de l'équation.

petit exercice supplémentaire : vérifiez que les deux solutions proposées sont identiques !

je m'y mets... comme j'ai vu que tu utilisais la méthode de Panter et que j'avais envie de voir la mienne, je n'ai pas lu en détail tes résultats!