Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Un peu de Galois...

Posté par
1 Schumi 1 23-03-08 à 12:47

Bonjour à tous,

Quelques 'ti exos pas compliqués mais comme c'est le début j'aimerai vérifié que j'ai pas pensé n'importe quoi n'importe comment (j'excelle dans ce domaine ).

Citation :
Soit k=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) le sous corps de \mathbb{C} engendrée par une racine carrée de 2 et une racine carrée de 3. Montrer que k est une extension galoisienne de Q dont le groupe de Galois est isomorphe (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2. Dresser la liste des extensions intermédiaires entre \mathbb{Q} et k. Trouver un élément primitif de k sur \mathbb{Q}.



Il est clair que tout élément de Gal(k/\mathbb{Q}) est entièrement déterminé par les images de \sqrt{2} et de \sqrt{3}.
Or pour \sigma dans Gal(k/\mathbb{Q}) on a \sigma(\sqrt{2})=\pm\sqrt{2} (car \sigma(\sqrt{2})^2=\sigma(\sqrt{2}^2)=\sigma(2)=2) et on a un résultat analogue pour \sigma(\sqrt{3}). Ce qui donne 4 éléments et comme [k,\mathbb{Q}]=4 l'extension est bien galoisienne.
Pour l'isomorpisme avec \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}^2 je considère que c'est une évidence pour tout le monde, je m'attarde pas dessus.
Les extensions intermédiaires sont forcéments de degré 2 sur Q. Il me semble que \mathbb{Q}(\sqrt{2}) et \mathbb{Q}(\sqrt{3}) sont les seuls.
Pour l'élément primitif \sqrt{2}+\sqrt{3} me semble faire l'affaire puisque son image par les éléments du groupe de Galois sont deux à deux distinctes. Ainsi il est de degré 4 sur Q ce qui prouve qu'il est primitif. (L 'argument est vaseux? )


Citation :
Soit p un nombre premier. Soit \phi_p(X) le polynôme (cyclotomique) défini par \phi_p(X)=\Bigsum_{0\le i\le p-1}X^i.
a) Montrer que \phi_p(X) est irréductible sur \mathbb{Q}
b) Soit \zeta une racine de \phi_p. Montrer que \mathbb{Q}(\zeta) est une extension galoisienne de \mathbb{Q} de degré p-1. On explicitera un isomorphisme entre Gal(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}) et \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^*.
c)Montrer que le groupe de Galois de \phi_p est cyclique d'ordre p-1.


a) On pose Y=X+1 et on applique Eisenstein à P(Y)=\phi_p(X+1).
b) Je dirai que \zeta "engendre" (oui bon, vous comprenez ce que je veux dire) l'ensemble des racines de \phi_p. Donc Q(\zeta) c'est le corps de décomposition de \phi_p. Il me semble bien que la normalité est ainsi prouvé. La séparabilité étant ici triviale, on a bien une extension galoisienne de \mathbb{Q}.
J'ai pas encore trouvé ledit isomorphisme.
c) \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^* étant cyclique d'ordre p-1, on conclut.

Juste pour l'instant? Je poste la suite après.


Ayoub.

Posté par
robby3re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 12:53

juste une question qui n'a rien à voir avec l'exo...tu veux faire quoi plus tard Schumi?

Posté par
1 Schumi 1re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 12:56

Je sais pas encore... J'envisage de remplacer mon prof de math Pourquoi?

Posté par
robby3re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 13:48

non pas curiosité,étant donné que tu fais énormément d'algebre,je m'atendais à ce que tu me dise...chercheur dans un truc hyper subtil en relation avec l'algebre

Bonne chance pour remplacer ton prof de maths!

Posté par
1 Schumi 1re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 13:52

J'y ai réfléchis mais bon chercheur en France c'est pas spécialement bien payé. Prof de prépa par contre...

Posté par
robby3re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 14:06

Posté par
lolo217re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 14:38

jusqu'à présent tout est correct (même l'argument vaseux)

Posté par
1 Schumi 1re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 15:00

Pour l'isomorphisme, je crois avoir trouvé:

En fait, comme l'ensemble des racines du polynôme estun groupe engendré par \zeta alors on a que tout élément de Gal(Q(\zeta)/Q) est entièrement caractérisé par l'image de \zeta. Je note donc \sigma_k l'élément de Gal(Q(\zeta)/Q) tel que \sigma_k(\zeta)=\zeta^k.
On a donc l'isomorphisme suivant: Gal(Q(\zeta)/Q)\to\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ \sigma_k\to k.

Juste?

Posté par
lolo217re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 15:17

oui sauf que c'est  Z/(p-1)Z .

Posté par
lolo217re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 15:18

ou  (Z/pZ)*

Posté par
1 Schumi 1re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 15:22

Euh oui pardon, c'est le groupe multiplicatif de Z/pZ.

Posté par
1 Schumi 1re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 16:53

Bon si c'est bon, on passe au suivant:

Citation :
Déterminer le groupe de Galois sur \mathbb{Q} du polynôme \rm f(X)=X^4-3. Expliciter un élément primitif du corps de décomposition de f. (Pfff, "f" c'est un nom de polynôme ça?! On ne respecte plus rien de nos jours... ).


J'essaie de le faire sans déterminer véritablement les racines ni les éléments de Gal(L/\mathbb{Q}) On va bien voir ce que ça donne. Je note L le corps de décomposition de f.
On identifie Gal(L/\mathbb{Q}) à un sous groupe de \mathbb{S}_4.
f est irréductible que \mathbb{Q}, ce qui nous permet de dire qu'il existe un 4-cycle dans Gal(L/\mathbb{Q}).
Il y a exactement 2 racines non réelles, donc complexes conjuguées. Comme il y a un élément de Gal(L/\mathbb{Q}) qui envoit l'un sur l'autre et qui laisse fixe le reste: cet élément fait figure de transposition.

Ainsi, on a \rm\large\fbox{Gal(L/Q)=\mathbb{S}_4}.

Juste?

Posté par
lolo217re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 19:22

(1,2,3,4)2=(1,3)(2,4)
(1,2,3,4)(1,2)(3,4)= (3,1)  je ne suis pas convaincu qu'un quatre cylce + 1 transposition engendre  S4 .

Posté par
lolo217re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 19:25

ah si c'est  (1,2,3,4)(1,3)(2,4)=  (1,4,3,2)  donc  OK  ça marche bien.


Si  p  premier  une transposition + 1 p-cyclce engendre  Sn , j'avais pas vu que pour  p=4 ça marche encore.

Posté par
yosre : Un peu de Galois... 23-03-08 à 20:54

Et Q(\sqrt6) il est pas dans Q(\sqrt2,\sqrt3)?

Posté par
lolo217re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 23:10

bonne remarque j'ai pas vérifié "sont les seules" . suffit de regarder les invariants par les sous-groupe de cardinal 2 du groupe de Galois.

Posté par
lolo217re : Un peu de Galois... 23-03-08 à 23:14

en fait comme y a que 3 éléments d'ordre  2 dans  Z/2ZxZ/2Z  cette fois on les a tous

Posté par
1 Schumi 1re : Un peu de Galois... 24-03-08 à 08:12

Ah oui c'est vrai, j'avais oublié le Q(V(6))... (merci yos) Je viens de voir le théorème sur la correspondance de Galois (THE théorème pour les extensions finies) donc je pense plus qu'il n'y en ait d'autres.

lolo >>

Citation :
Si  p  premier  une transposition + 1 p-cyclce engendre  Sn , j'avais pas vu que pour  p=4 ça marche encore.

C'est pas vraiment ce résultat que j'ai utilisé. Ici ça marche parce que n=4, sinon ça serait foireux.
En fait, j'ai utilisé le résultat suivant (vu en exo ya un bout de temps):
Sn = <(1,...,n),(1,2)> et donc, quitte à permuter des racines, on peut se ramèner (avec un tout petit peu de gymnastique il est vrai) dans ce cas précis.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !