P = Q R  on conjugue par  f  automorphsime  f(P) = f(Q)f(R)  donc  P = Q f(R)
supposons qu'on soit en caractéristique nulle et que  k2 /k1 soit Galoisienne (ça change rien de grossir k2 pour que ça soit vrai puisque tes polynômes ont un nombre fini de coefficients).
On fait alors la somme sur tous les  f  dans Gal(k2/k1)  et on a
  nP = Q(somme f(R)) et le dernier est bien dans  k1 . Sauf erreur.

sinon c'est vraiment écraser une mouche avec un marteau  pilon
sans compter que pour la carcatéristique p faurait autre chose que la trace ou bidouiller ?

Tu peux aussi me le faire, genre "on est pas en caractéristique 0"? Enfin, si ça te dérange pas trop, sure.

Bon si on est pas en caractéristique 0 on est en caractéristique  p >0 .l'argument d'avant marche pas car  n = degré de l'extension peu être multiple de p et on obtient 0=0.

autre idée :

P = QR  il existe une puissance  p^e=a  de  R  dont tous les coefficients sont dans une extension séparable de  k1.
P^a=Q^aR^a  . Alors  si  s = degré de l'extension Galoisienne  k3/k1  (k3 = l'extension Galoisienne engendrée par kl'extension séparable précédente)  :
P^as=Q^as(produit f(R^a)  où  f  parcourt les automorphisme de l'extension.ce produit est dans k1.
Donc une puissance  de  Q  divise la même puissance de  P  dans  k1  et là ça bloque.....? Bref vois pas

Pas grave, merci lolo de m'avoir accordé un peu de ton temps.

Donc le problème reste ouvert pour une caractéristique p non nulle. Si un autre algébriste passe par là...

Merci d'avance.


Ayoub.

Je vois pas pourquoi tu te prends la tete lolo, t'avais quasiment fini si pour tout g du groupe de Galois g.P=g.(Qf) soit P=Qg.f tu en déduit que g.f=f par unicité de la division euclidienne dans k2[X] donc f est dans les coeff de f sont dans le corps des invariants de k2 par G et par coorespondance de Galois ce corps c'est k1 donc f est dans k1[X], quelque soient les carractéristiques...

oui mais si on utilise l'unicité dans la divison euclidienne....y a pas besoin de Galois

Disons juste le fait que k2[X] est intègre alors , mais je suis d'accord pas besoin de Galois pour prouver ce résultat

oui c'est vrai que c'est beaucoup plus simple comme tu as fait

Euh ...finalement non ! Si  k2/k1  est purement inséparable par exemple je ne suis pas sûr que les éléments stables par automorphismes (lesquels d'ailleurs ?) soient dans k1 . ..;Sauf erreur bien entendu.

Oui enfin on a supposé k2/k1 galoisienne...donc non purement inséparable

Ben en caractéristique p ça ne régle pas le problème initial alors ? Au mieux le quotient sera dans la partie séparable de l'extension.

Disons que le cas qui reste c'est  P^{p^e}= Q^{p^e}R et on veut prouver que les racines  p^e  ième de R sont dans k1 ?

si Q divise P dnas k2[X] alors f est dans K2[X], je ne vois pas où est le problème, en carractéristique p toutes tes exetnsions finies sont galoisienne donc il n'est même pas besoin de supposer K2/K1 galoisienne, elle l'est automatiquement.
On fait agir le groupe de galois sur les coefficeints de P et Q et pas sur ces racines (ca revient quasiment au même sauf qu'on ne sait pas a priori si les racines de P sont sont dans K2 même si celle si est galoisienne).
Je sais pas si j'ai été tres clair

c'est faux ! Les extensions finies ne sont pas Galoisienne exemple
Fp(T^1/p)/Fp(T)  est finie purement inséparable donc pas Galoisienne . Seul automorphisme l'identité !!

J'avais supposé implicitement sur un corps fini, effectivement tu as raison dans ce acs là c'est pénible... Quand tu parlais de carractériqtique p pour moi c'était sur un coprs fini... C'est vrai que c'est pénible sinon...Dans tous ls cas, c'est quand même se noyer dans un verre d'eau...

En fait ca change pas le problème, je pense que ma démo est toujours correcte puisuqe comme je l'ai dit je fait agir G sur les coeff du polynome et non pas sur les racines (c'est à dire le polynome lui même en fait) on ne se place pas dans le corps des racines ici, les extensions sont donnée a priori et sir je défnit pour g dans Gal(k2/k1) g.(X^n+a(n-1)X^(n-1)+...+a1X+a0)=X^n+g(a(n-1))X^(n-1)+...+g(a_1)X+g(a0) alors on a bien g(P)=P=Qg(f) et donc les coeff de f sont invariants sous l'action de G et donc dans K1.

Es tu d'acord avec ça?

non, je reprends mon exemple  P= Q R  avec  P  et  Q  dans Fp(T)  le seul automorphsime de l'extension étant l'identité tu ne peux rien déduire de  sigma(R)=R

remarquons que dans l'exemple en question on peut s'en sortir en dérivant ...par rapport à T  (j'ai pas tout vérifié)! Mais reste beaucoup d'autres cas.

Attends Q est dans Fp(T) ou dans Fp(T)[X].
Parce que si au départ K2/K1 est purement inséparable, on n'aura jamais d'extensions de K2 qui soit galoisienne sur K1, hors je me suis plaçé dans ce cas...Mais effectivement cela ne resoud que partiellement le problème. On est d'accord

oui

J'adoooooooore ce genre de conversation... J'y comprend que dalle