Des idées, en voila, mais je ne sais pas si elle sont bonnes, car je suis comme toi, je cherche.
1) démontrer que f ne s'annule pas sur R, et en déduire que f est strictement positive.
Soit b=2a, a et b , 2a peut s'écrire a+a.  Donc par la propriété 2, on a
f(b) = f(a+a) = f(a)*f(a) = (f(a))^2  qui est toujours positif.  Avec cela, je n'ai pas prouver que f ne s'annule pas, par contre je sais que c'est toujours positif.

2)
Si a est un réel fixé, g(x) = f(x+a)
2.a)
g'(x) = (f(x+a))' = f'(x)*f(a) + f(x)*f'(a).
Or f'(a) = 0 puisque a est constant. Donc
g'(x) = f'(x)*f(a).

Pour le reste, je bloque.
Si j'ai une autre idée!  
Bonne soirée,

1) Si f s'annule sur R (en x) alors f est la fonction nulle car f(a+b) = f(a) * f(b) donc pour tout y on a f(y)= f((y-x)+x)= f(y-x)*f(x)= 0.
Or f(0)= 1 donc c'est absurde, f ne s'annule pas sur R.
f est une fonction dérivable donc continue sur R et si elle ne s'annule pas elle garde alors un signe constant. une fois de plus f(0)= 1 : f est strictement positive.
2)
a) g(x)= f(x+a)
        = f(x)*f(a)
f(a) est une constante, quand on dérive on obtient que g'(x)= f(a)*f'(x)
b) on sait que d'autre part lorsqu'on applique les règles de dérivation on a g'(x)= f'(x+a).
ensuite on applique le a) à x=0, et on obtient :
g'(0)= f'(0)*f(a)       g'(0)= f'(0+a)
f'(a)= f'(0)*f(a)
f'(0)=1 donc f'(a)= f(a)
la c, heu je sais pas trop, salut !

tu as montré que la fonction devait resoudre le systeme:

Pr tt x € R
f(x)'=f(x)
f(0)=1

Je crois que c'est la definition de la fonction exponentielle qui est l'unique fonction à satisfaire ce systeme...