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Une démonstration avec exponentielle

Posté par
Amar252
02-01-21 à 23:00

Bonsoir j'ai une démonstration mathématique à faire , j'ai tout essayé mais je trouve pas , merci de bien m'aider

Énoncé

Demontrer que pour tout nombres reelles u et v
e^((u+v)/2) < (e^u + e^ v ) / 2

Posté par
bbjhakan
re : Une démonstration avec exponentielle 02-01-21 à 23:55

bonsoir

étudie la convexité de la fonction exponentielle

Posté par
alma78
re : Une démonstration avec exponentielle 03-01-21 à 00:15

Bonsoir,

On a  (eu/2 - ev/2)2 0 car un carré est toujours positif ou nul.
Développe la partie gauche. Arrange un peu. Que remarques-tu ?

Posté par
co11
re : Une démonstration avec exponentielle 03-01-21 à 00:20

Bonsoir,

je suggère aussi : poser a = eu/2 et b = ev/2
Et regarder comment s'écrit cette inégalité n fonction de a et b

alma78, nos réponses se recoupent on dirait ?
Mais j'arrête pour ce soir.
A plus

Posté par
Amar252
re : Une démonstration avec exponentielle 03-01-21 à 09:27

Bonjour
Pour l'étude  de la convexité de f(x)= exp(x)
f est convexe sur R

Posté par
Amar252
re : Une démonstration avec exponentielle 03-01-21 à 09:31

Si on developpe ( e^ (u/2) - e^ (v/2) )^2 > 0
On se retrouve avec ( e^u + e^ v ) /2 > 2 e^ ( (u+v)/2)

Posté par
Amar252
re : Une démonstration avec exponentielle 03-01-21 à 09:37

Si on pose a = e^ u/2
b= e^ v/2

J'ai ab > (a^2 + b ^2 ) / 2
Ce qui est toujours  vrai et pour le demontrer on fait ( a-b)^2 > 0

Je ne saurai vous dire comment je vous suis reconnaissante.
Merci beaucoup pour vos explications si claires   😊

Posté par
Amar252
re : Une démonstration avec exponentielle 03-01-21 à 09:43

J'ai fait une erreur de signe en haut c'est plutôt  ab < ( a^2 + b^2 ) /2

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Une démonstration avec exponentielle 03-01-21 à 09:45

Bonjour Amar252,
Bravo d'avoir trouvé
Attention cependant : Toutes les inégalités sont larges.

L'île est pleine de ressource, entre autres :
Pour les symboles mathématiques, dont , le bouton \; sous le rectangle zone de saisie.
Pour les exposants, il y a le bouton \; X2 \; sous le rectangle zone de saisie.
Écrire l'exposant entre les balises "sup" et "/sup" qui apparaissent.
Ou sélectionner l'exposant puis cliquer sur le bouton \; X2 .
Il est fortement conseillé de faire "Aperçu" avant "POSTER".

Posté par
Amar252
re : Une démonstration avec exponentielle 03-01-21 à 10:00

Merci sylvieg je m'en servirai la prochaine fois



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