salut
K corps <=> K[X] euclidien => K[X] principal
De plus, dans un anneau principal, on a:
p irréductible <=> (p) maximal
=> (P(X)) est maximal
=> K[X]/(P(X)) corps.

Ok.
En ce qui concerne le fait que ce soit un K-ev de dimension deg(P(X)) ?

Dans mon cours j'ai :
si G(X)=Irr(a,K,X), alors

puis-je utiliser ce résultat ?

Si  r = degP  , tout polynôme  A(X)  s'écrit  P(X)B(X) + R(X)  où  degR< r
aec unicité par division euclidienne.

Donc les classes des éléments  A  sont en bijections avec les classes des polynômes  R . Il est facile de voir que la classe de R n'est jamais nulle (pour tout R de degré < r). Et l'ensemble des R est un K-espace de dimension  r . Si  a= classe de (X)  tu as bien sûr  P(a) = 0  dans  le quotient.

Il faut que P soit unitaire pour effectuer la division euclidienne ?

non justement, si P appartient à K[X], avec K corps, on n'a pas besoin de vérifier que le coeff. devant le monome de plus haut degré est inversible (mais il est vrai que l'on peut toujours se ramener à un polynome unitaire)...

Je ne comprend pas, dans mon cours on dit que l'on peut effectuer la division euclidienne par un polynôme unitaire!

en fait on peut faire mieux, dans ta démo, tu utilises certainement le fait que "1" est inversible et donc tu peux effectuer une division euclidienne par n'importe quels éléments inversibles

Tu peux expliciter stp ?

Je n'ai pas la démo en tête, je veux juste dire que dans ta démo, tu arrives à la même conclusion si tu supposes juste que le coeff. du plus haut degré est inversible.

le polynôme minimal est unitaire par définition, maintenant  si  x  dans  K est non nul est le coefficient dominant de P (  P dans  K[X])  alors  P/x  est unitaire et rien ne change.

Cela dit si tu es dans un Anneau alors on peut effectuer la division euclidienne dans l'anneau seulement si le coeff dominant est inversible en général .

Mais ou on a dit que P était le polynôme minimal ici ?

Donc ce que tu me dit c'est que si x est le coefficient dominant de P, x non nul alors (P)=(P)

?

ben oui
si  a  est inversible pour tout idéal  I  : aI= I

, (P irréductible unitaire implique  P est le polynôme minimal d'une de ses racines)

Donc ok on appelle est la on peut effectuer la D.E. car celui-ci est unitaire.
Donc :
A(X)=P(X)B(X)+R(X) avec degR< r (si degP=r)

Encore une fois unitaire ne sert à rien si tu es dans un corps :
A = PB + R  équivaut à  A= (P/x)(Bx) + R .

Maintenant les éléments de K[X]  qui sont dans l'idéal engendré par P sont les multiples de P .

Donc  classe (0) = les multiples de P  .

classe(A) = Classe (PB) + classe(R) = classe (0) + classe(R)= classe(R)

ensuite les classes on les écrit plus quand on a l'habitude.

Ok je commence petit à petit à comprendre !

si cl(R) = 0  ça veut dire que  R  est dans l'idéal (P)  or R ne peut pas être multiple de P car il est de degré plus petit (sauf si R =0)

l'ensemble des "R" c'est l'ensemble des polynômes de degré < r