Bonsoir elhor,
je note n_rac : la racine nième
je démontre l'inégalité la plus facile :
n_rac(2) <= n_rac(a^n + b^n) + n_rac(b^n + c^n) + n_rac(c^n + a^n)

la fonction x-> n_rac(x) est concave donc en écrivant :
n_rac(a^n + b^n) + n_rac(b^n + c^n) + n_rac(c^n + a^n)
= n_rac(2) (n_rac((a/2)^n + (b/2)^n) + n_rac((b/2)^n + (c/2)^n) + n_rac((c/2)^n + (a/2)^n)
l'inégalité de concavité donne :
n_rac(a^n + b^n) + n_rac(b^n + c^n) + n_rac(c^n + a^n) >= n_rac(2)*1/2  (n_rac(a^n)+ n_rac(b^n)) + n_rac(b^n) + n_rac(c^n) + n_rac((c^n)) + n_rac(a^n)
= n_rac(2) * 1/2 (2(a + b+ c))
Or, a+ b + c = 1,
d'ou le résultat ...
reste l'autre sens qui n'as rien d'évident

Bonsoir ;
Comme dit Camélia " Pour ne pas laisser un sujet sur l'île sans réponse "
La double inégalité est triviale pour .
Supposons ,
Par symétrie on peut supposer
Comme on a d'où
et par suite ce qui donne
d'autre part la formule du binôme donne successivement:
et
d'où et
et en sommant les trois inégalités bleues on voit que
Pour l'autre inégalité on peut soit faire comme hatimy soit utiliser la convexité de la fonction en écrivant:
(sauf erreur bien entendu)