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Une équation sans solution avec modulo
Bonjour à tous !
Alors, j'ai un exercice à faire pour la rentrée alors cet exercice me bloque. Voici l'exercice :
x et y désignent des nombres entiers relatifs et n un nombre entier naturel.
(G) est l'équation : 3x²+7y²=10²ⁿ.
On se propose de montrer que l'équation (G) n'admet aucune solution.
a) Montrer que 100 ≣ 2[7]. Démontrer que si (x;y) est solution de (G), alors 3x² ≣ 2ⁿ[7].
b) Reproduire et compléter ce tableau suivant :
______________________________________________________________________________________________________________________________
Reste de la division euclidienne de x par 7 : ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
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Reste de la division euclidienne de 3x² par 7 : ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
______________________________________________________________________________________________________________________________
c) Démontrer que 2ⁿ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.
En déduire que l'équation (G) n'admet pas de solution.
Voilà, et j'espère que vous pouvez me donner quelques conseils pour que je puisse réussir et exercice.
Merci et bonnes vacances !
Romza-El
a) 100 s'écrit : 100 = 7 x 14 + 2 donc on a bien : 100
2 [7]
Si (x ; y) est solution de (G) alors 3x² + 7y² = 102n donc 3x² ≡ 102n[7].
or 10²2[7] donc avec les puissances (10²)n2n2[7]
on conclut que : 3x² ≡ 2n[7]
b) les restes possibles par la division euclidienne de x par 7 sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6
les restes possibles par la division euclidienne de x² par 7 sont : 0, 1, 4, 2, 2, 4 et 1
les restes possibles par la division euclidienne de 3x² par 7 sont : 0, 3, 5, 6, 6, 5 et 3
c) 201[7]
22[7]
2²4[7]
23=81[7]
Et ainsi de suite ... en général : 23k1[7]; 23k+12[7] et 23k+24[7] (avec k 
)
Or 3x² ≡ 2n[7], et les restes de la division euclidienne de 2n par 7 sont 1, 2 et 4 mais les restes de la divion euclidienne de 3x² par 7 sont 0, 3, 5 et 6. DOnc (G) n'a pas de solutions.
Bonjours à tous !
J'ai conscience que ce post remonte à loin, mais j'espère que quelqu'un y répondra quand même.
J'ai voulue m'entraîner en faisant ce sujet mais je ne comprend pas la dernière question. Pour qu'elle raison nous démontrons les restes possibles en utilisant la forme 2^3k+n ?
Voilà si quelqu'un a la patiente de bien vouloir m'expliquer .
Je vous remercie par avance .
Bonne journée à tous .
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