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une fonction est solution d'une equation differentielle

Posté par
leonil22
26-04-12 à 15:01

bonjours voici mon exercice de maths

La vitesse avec laquelle le sucre se dissout dans l'eau est proportionnelle à la quantité de sucre présent non sissout. A t=0 on verse 5kg  de sucre , au bout de 6h il reste 1.25kg de sucre NOn dissout
Q(t) désigne la quantité de sucre disssous à l'instant t et Q'(t) la vitesse de dissolution à l'instant t. Le coefficient de proportionnalité est notée c

1) montrer que la fonction Q definnie sur [0,+] est solution de l'équation differentielle (E) : Y'=c(5-Y)
2) a) Resoudre l'equation (E)
   b) montrer que : Q(t)=5(1-e(-ct) avec c= -ln(0.25)/6=ln(2)/3

pour la premiere question je vois pas comment on peut faire car on a pas l'équation de Q(t)?
pour la deuxieme question j'ai fait :

on sait que Q(t) est solution de (E) donc Y'=c(5-Y)
                                          Y'=-5Y+5c
Q(t)= ke(-ct) +5c/c
     = ke(-ct)+5

donc Q(0)=ke-c0+5
         =k+5=5 car a t=0 Q(0)=5
         =k=0

mais apres ça donne Q(t)=5 et c'est pas la reponse de la question 2) b)

quelqun pourait m'aider pour la 1) et me dire c'est ma 2) a) est bonne? s'il vous plait.

Posté par
leonil22
une fonction est solution d'une equation differentielle 26-04-12 à 15:30

a non pour la 2) a) je sais ou je me suis tromper Q(0)=0 et pas a 5 donc  ça me donne:
k=-5 donc Q(t)=-5e^(-ct)+5
              =5[ -e^(-ct)+1)
              = 5(1-e^(-ct))

donc ça me donne bien mon 2) b)

Mais je vois toujours pas comment faire la 1)

pouvaient vous maider s'il vous plait.

Posté par
Glapion Moderateur
re : une fonction est solution d'une equation differentielle 26-04-12 à 16:51

Bonjour, "La vitesse avec laquelle le sucre se dissout dans l'eau est proportionnelle à la quantité de sucre présent"
la vitesse c'est Y', la quantité de sucre présent c'est 5-Y (ce qu'il y avait au début moins ce qui a été dissous) si c'est proportionnel c'est que Y'=c(5-Y)

Après, ton cours devrait te donner directement les solutions de l'équation différentielle Y'=c(5-Y) mais si tu veux la retrouver, tu l'écris Y'/(5-Y)=c, tu intègres des deux cotés -ln|5-Y|=ct+K ln|5-Y|=-ct-K et tu prends l'exponentielle |5-Y|=ae-ct y=5-ae-ct
quand t=0, Y=0 donc 0=5-a a=5 et donc Q(t)=5-5e-ct=5(1-e-ct)

Pour trouver c, il fut utiliser la donnée au bout de 6h il reste 1.25kg de sucre

Posté par
leonil22
une fonction est solution d'une equation differentielle 26-04-12 à 17:09

merci de votre reponse

j'ai calculer c mais je trouve pas la meme chose que l'enoncé:

Q(6)=5-5e^(-c*6)=1.25
     -5e^(-c*6)=-3.75
         e^(-c*6)=0.75
         -c*6=ln(0.75)
            c=-ln(0.75)/6

ça me donne pas c=-ln(0.25)/6
je me suis tromper ou pas?
      

Posté par
Glapion Moderateur
re : une fonction est solution d'une equation differentielle 26-04-12 à 17:21

Q(6) c'est la quantité dissoute et pas la quantité qui reste donc Q(6)=3.75 et pas 1.25
au bout de 6h il reste 1.25kg de sucre, donc il s'est dissout 3.75 Kg et donc 3.75=5(1-e-6c) 5e-6c=5-3.75 e-6c=1.25/5=0.25 -6c=ln(1.25) c=-(1/6)ln(0.25)= etc...

Posté par
leonil22
une fonction est solution d'une equation differentielle 26-04-12 à 17:27

a ba oui c'est logique
merci beaucoup

3) quelle quantité de sucre non dissout restera t-il dans le recipient au bout de 8h?

comment il faut faire comme c'est non dissout on ne peut pas fait Q(8)=5(1-e^(-8c))
j'ai essayer plusieur truc mais ça n'aboutie pas.
je penser aussi que si on dit 61.25
                              81.66
mais ça peut pas etre ça sinon il resterait plus de sucre au bout d'un temps plus grand
pouvez vous me donner des pistes s'il vous plait

Posté par
Glapion Moderateur
re : une fonction est solution d'une equation differentielle 26-04-12 à 17:36

il restera 5-Q(8) (il y avait 5 au début et il 'est dissous Q(8) donc il reste 5-Q(8) )=5-5(1-e-8c)=5e-8c et tu connais la valeur de c

Posté par
leonil22
une fonction est solution d'une equation differentielle 26-04-12 à 17:42

a oui quand on a la solution ça parer tout bete pourtant ^^

alors la question d'apres c'est Combien de temps faudra-t-il pour qu'il reste moins de 0.5kg de sucre non dissout?

donc je fait 5-Q(t)0.5
5e^(-t*c)0.5 c'est ça?

Posté par
Glapion Moderateur
re : une fonction est solution d'une equation differentielle 26-04-12 à 17:48

oui

Posté par
leonil22
une fonction est solution d'une equation differentielle 26-04-12 à 17:50

ok j'ai trouver qu'il fallait + de 10heures

Un grand merci de m'avoir aider



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