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Une fonction très spéciale
f sur R tel que :
f(x+y) + x + y = (f(x) + x)(f(y) + y) (1)
avec f(1) = e - 1
1) Vérifier que pour tout t , f(t) + t > 0
2) Montrer que pour tout x dans R et n dans N
f(nx) = (f(x) + x)^n - nx
3) calculer f(-x)-x et étendre la relation (1) pour n appartenant à Z
4) Montrer que pour tout Q f(x) = e^x - x
Merci d'avance, je passe bientôt un concours
Salut, voila la réponse à la question 1.
Soit t
,
t/2.
Avec x=t/2 et y=t/2, on obtient
f(t/2 + t/2) + t/2 + t/2 =(f(t/2) + t/2)²
Soit f(t) + t= (f(t/2) + t/2)²
0.
Supposons qu'il existe t
tel que f(t)+t=0, par la relation précédente f(t/2) +t/2=0 ...
et 
n
f(t/(2n))+t/(2n)=0.
or la limite est 0, donc f(0)+0=0, ce qui est absurde car f(0)=e-1 !
donc f(t)+t > 0
Voilà mes résultats.
1) en posant t=x+y t=1/2t+1/2t
f(1/2t+1/2t) +1/2t+1/2 t = (f(1/2t)+1/2t)(f(1/2t)+1/2t).
Avec la régle signe, [f(1/2t)+1/2t]>0 ou >0
f(t)+(t) >0
2)x et n
Calculons f(nx)+nx=f(nx+0)+nx+0=f(2nx)f(0)
D'après (1)f(nx)+nx=(f(x)+x)^n.
3)f(-x)-x=(f(x)+x)^-1 (d'après 2))
4)f(1x)=(f(x)+x)-x=e^x-1.
Je suis sur pour la 1, c'est déjà bien.
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