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une inégalité à démontrer(en raport avec Hölder)

Posté par
flashy 31-10-05 à 23:21

comment démontrer l'inégalité suivante :

ai.bi((^p)/p)ai^p  +(^-q)/q)bi^q
avec allant de i=1 à n      et pour ai et bi, i est en indice

sachant que (1/p)+(1/q)=1 avec p et q >1

et f(x) = (x^p/p)+ (x^-q/q) avec x >0 et sachant ossi que

une inégalité à démontrer(en raport avec Hölder)

Posté par
flashyre : une inégalité à démontrer(en raport avec Hölder) 31-10-05 à 23:22

et on sait également que

Posté par
flashyre : une inégalité à démontrer(en raport avec Hölder) 31-10-05 à 23:22

et on sait également que

une inégalité à démontrer(en raport avec Hölder)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : une inégalité à démontrer(en raport avec Hölder) 01-11-05 à 04:07

Bonsoir flashy;
Bien entendu 3$\fbox{\lambda>0\\a_1,..,a_n,b_1,..,b_n\ge0} posons alors 3$\fbox{\forall i\in\{1,..,n\}\\c_i=\lambda a_i\\d_i=\frac{b_i}{\lambda}} on sait que 3$\fbox{\forall i\in\{1,..,n\}\\c_id_i\le\frac{c_{i}^{p}}{p}+\frac{d_{i}^{q}}{q}} c'est à dire que 3$\fbox{\forall i\in\{1,..,n\}\\a_ib_i\le\frac{\lambda^p a_{i}^{p}}{p}+\frac{ b_{i}^{q}}{\lambda^q q}} et en sommant ces n inégalités on aboutit à 4$\blue\fbox{\Bigsum_{i=1}^{n}a_ib_i\le\frac{\lambda^p}{p}\Bigsum_{i=1}^{n}a_{i}^{p}+\frac{1}{\lambda^q q}\Bigsum_{i=1}^{n}b_{i}^{q}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
flashyre : une inégalité à démontrer(en raport avec Hölder) 01-11-05 à 11:43

oki merci beaucoup elhor_abdelali !! j'aurais peut etre besoin de toi pour déduire de cette inégalité celle de Holder mais pour l'instant tu m'as assez aider et je vais essayer de trouver l'inégalité de Hölder toute seule!!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : une inégalité à démontrer(en rapport avec Hölder) 01-11-05 à 13:47

Bonsoir flashy;
N'oublies pas que l'inégalité ci dessus est vérifiée quelque soit le réel stictement positif \lambda.Il te suffit donc de trouver une valeur particulière de \lambda telle que:
4$\fbox{\frac{\lambda^p}{p}\Bigsum_{k=1}^{n}a_{i}^{p}+\frac{1}{\lambda^q q}\Bigsum_{k=1}^{n}b_{i}^{q} =(\Bigsum_{k=1}^{n}a_{i}^{p})^ {\frac{1}{p}}(\Bigsum_{k=1}^{n}b_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}}
Je te propose la valeur 5$\blue\fbox{\lambda=(\frac{\Bigsum_{k=1}^{n}b_{i}^{q}}{\Bigsum_{k=1}^{n}a_{i}^{p}})^{\frac{1}{pq}}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
flashyre : une inégalité à démontrer(en raport avec Hölder) 01-11-05 à 21:57

bonjours elhor_abdelali

oui c bon g réussi à démontrer cette égalité grace à la valeur de lambda que tu as donné!! merci beaucoup ! c bon la je vais plus t'embeter avec Hölder il est fini mon exo dessu!loool

merci beaucoup pour tout!

                a bientot


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