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Une récurrence double

Posté par
naihchams
18-02-21 à 10:52

Bonjour,
Je dois rendre l'exercice suivant et j'ai du mal à le résoudre à partir de la question 2:


On considére la suite (un) définie, pour tout entier naturel n par u0=16, u1=8 et, pour tout entier naturel n, un+2=un+1-1/2 un.

1. Soit z un nombre complexe. on considère la suite de nombres complexes (vn) définie pour tout entier naturel n par vn=zn.

a. démontrer que, si vn+2=vn+1-1/2vn, alors z est solution de l'équation 2z2-2z+1=0




vn+2=vn+1-1/2vn
zn+2=zn+1-1/2 zn
zn*z2=zn(z-1/2)
z2=z-1/2
z2-z+1/2=0
2(z2-z+1/2)=0
2z2-2z+1=0
donc z est solution de l'équation 2z2-2z+1=0



b. vérifier que l'équation 2z2-2z+1=0 admet deux solutions complexes conjuguées z1 et z2 que l'on précisera



J'ai calculé et j'ai obtenu z1=1/2 -1/2i et z2=1/2 +1/2i



2.On admet que, pour tout entier naturel n, un=az1n+bz2n

a. Vérifier que pour tout entier naturel n, on a:
un+2=un+1-1/2 un

b.déterminer les valeurs de a et b

c. en déduire l'expression de (un) en fonction de n et démontrer la conjecture de la première question



Dans la question 2a. j'ai commencé par remplacer un par az1n+bz2n, un+1 par az1n+1+bz2n+1 et un+2 par az1n+2+bz2n+2

az1n+2+bz2n+2 = az1n+1+bz2n+1 - 1/2 (az1n+bz2n)
Après je n'arrive plus à continuer.
Merci

Posté par
carpediem
re : Une récurrence double 18-02-21 à 12:13

salut

1a/ : faire attention en simplifiant par z^n qui veut en fait dire "diviser par z^n" ... mais peut-on diviser ?

2a/ pourtant ça vient tout seul en regroupant les "z_1" ensemble et les "z_2" ensembe et en utilisant 1b/

Posté par
naihchams
re : Une récurrence double 18-02-21 à 12:16

J'ai oublier de préciser que zn est différente de 0
Merci

Posté par
carpediem
re : Une récurrence double 18-02-21 à 12:16

en fait c'est mal rédigé !!

u_{n + 2} = az_1^{n + 2} + bz_2^{n + 2} = ...

Posté par
naihchams
re : Une récurrence double 18-02-21 à 12:17

carpediem @ 18-02-2021 à 12:16

en fait c'est mal rédigé !!

u_{n + 2} = az_1^{n + 2} + bz_2^{n + 2} = ...


Merci Beaucoup!



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