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Une relation de ^2 : marche-t-elle avec ^3 ?
Bonjour,
En étudiant les nombres et leur carré, j'ai pu constater qu'il y avait une relation de deux nombres et leurs carrés.
Soient trois nombres a b et c avec comme conditions b = a + 1 et c = b + 1
Leurs carrés sont respectivement a^2, b^2 et c^2.
Eh bien je découvre assez curieusement que c^2 - b^2 = b^2 - a^2 + 2.
Bref, je cherche si il y a une relation avec les cubes des nombres.
Je vois que cette relation est irrégulière... Bref, y a t-il une identité remarquable permattant d'exprimer et de calculer cette irrégularité ?
Je vous remercie d'avance.
Pour ceux qui se demandent à quoi sert cette relaion avec le carré, elle permet de calculer le carré d'un nombre grâce aux carrés de deux autes nombres. Je ne trouvepas d'utilité pour la relation au cube, mais peut-être peut-on la représenter sous forme de fonction, mais même si ça sert à rien, j'aimerais bien savoir...
Bonsoir lucas,
alors oui il y a une raison logique à cette régularité, mais j'ai vu que tu étais en troisième alors ça risque dur de te l'expliquer...
Je vais quand même essayer! 
Ok...
Je connais l'identité remarquable n - 1 (que je ne sais pas développer 
) pour la régularité au carré, mais je cherche surtout la traduction algébrique de l'irrégularité au cube...
Ben...
(n + 1)(n + 1)(n + 1)
n*n*n + n*n*1 + n*1*n + 1*n*n + n*1*1 + 1*n*1 + 1*1*n + 1*1*1
n^3 + 3n^2 + 3n + 1
Oula, le nombre de fautes qu'il doit y avoir...
Bonsoir
tu prends trois nombres consécutifs
n-1;n et n+1
je ne vois pas très bien à quoi cela te facilite la tache
d'écrire que
(n+1)²-n²=n²-(n-1)²+2
Mais tu peux si tu veux voir ce qu'il en est pour les cubes tu écris
(n+1)^3-^3 et n^3-(n-1)^3
et tu te sers de la relation
a^3-b^3=(a-b)(a²+ab+b²)
et tu effectues les calculs
Bon courage
En fait, tu calcules ici l'écart entre deux carrés de nombres consécutifs, tu es d'accord?
Si tu dis que c = n + 2, b = n + 1 et a = n,
ton égalité revient à avoir
(n+2)²-(n+1)²=(n+1)²-n²+2.
Tu me suis jusque là?
Je vais mieux comrendre en pratiquant :
(n+2)²-(n+1)²=(n+1)²-n²+2
On va ire que n = 10.
(10+2)²-(10+1)² = (10+1)²-10²+2
12²-11² = 11²-10²+2
Je comprends mieux l'égalité avec des chiffres...
Bon parce que là on va compliquer...
Là on travaille sur les carrés : on va donc appeler génériquement X² un nombre au carré.
De même, on va appeler X3 lorsque l'on va travailler sur le cube.
Génériquement, on considèrera Xn lorsque l'on va travailler sur la puissance n-ième.
(Ca s'appelle des polynômes)
Quand on calcule l'écart entre deux polynômes, c'est-à-dire ici dans le cas du carré (X+1)²-X², ou dans le cas du cube, (X+1)3-X3, on effectue une opération sur les polynômes, c'est-à-dire qu'on peut appliquer un opérateur D (opérateur "écart", également nomme "dérivateur discret" mais ça ne doit pas te faire peur 
)
tel que D(Xn)=(X+1)n-Xn
Tu comprends kekchose ou po? On continue ou on s'arrête?
ah d'accord ça risque d'être dur alors si tu préfères avec les chiffres...
Parce que pour ton égalité il suffit de déelopper :
(n+2)²=n²+4n+4
(n+1)²=n²+2n+1
n²=n²
On calcule l'écart :
(n+2)²-(n+1)²=2n+3
(n+1)²-n²=2n+1
d'où
(n+2)²-(n+1)²=(n+1)²-n² + 2
Je comprends à peu près ton premier message, mais il n'y a pas de valeur donnée pour D ?
Je regarde le deuxième...
En fait D ça associe à un polynome à un autre polynome...
Par exemple, quand on applique D(X3) = (X+1)3 - X3 à 2, on trouve :
D(X3)(2) = (2 + 1)3 - 23
= 27 - 8 = 19
Mais il est plus pratique de remarquer que
D(X3)= (X+1)3 - X3
= X3 + 3 X2 + 3 X + 1 - X3
= 3 X2 + 3 X + 1
Ainsi quand on applique D(X3) à 2 on trouve :
D(X3)(2) = 3 * 22 + 3*2 + 1 = 12 + 6 + 1 = 19!
C'est plus facile à calculer...
Pour le bon niveau, c'est vraiment mal parti, je crois que je verrai demain, car mon cerveau s'endort vraiment. J'apprendrai avant un petit cours sur les polynomes et leurs factorisations...
Merci et bonne nuit.
Tu peux aussi appliquer l'opérateur décalage à un polynôme du type X² - 2X par exemple.
Ainsi D(X²-2X) = (X+1)² - 2(X+1) - [ X² - 2X ]
= ... etc... mais c'est le même principe!
Bonsoir
D(X3)(2) = 3 * 22 + 3*2 + 1 = 12 + 6 + 1 = 19!
la jolie factorielle
lucas>>Avant d'apprendre un cours sur les polynômes (qui n'est pas au programme de 3éme) comme tu dit, je te conseille de te familiariser avec le calcul littéral (qui est programme de 3éme) car les nombres c'est joli mais..voila quoi ^^
Kuider.
Salut Kévin
Oui en effet, mais c'est lucas qui dit ça, je pense qu'il emploie mot pensant que c'est des trucs hyper-complexes et que si on les connait (son cas?) on est hyper baléze en maths ?
Bref voilà quoi pourquoi faire complexe quand on peut faire simple , les mathématiques c'est avant tout (pour moi) la recherche de la simplicité
Kuider.
Lucas,
Tu as pu observer cette "régularité" : (n+2)² - (n+1)² = (n+1)² - n² + 2
Comme dit plus haut, cette égalité est vraie pour n'importe quel nombre n, il suffit de développer chaque membre et de voir qu'ils sont égaux :
(n+2)² - (n+1)² = (n²+4n+4) - (n²+2n+1) = 2n + 3
et
(n+1)² - n² + 2 = (n²+2n+1) - n² + 2 = 2n + 3
D'où l'égalité.
Maintenant tu te demandes pourquoi cette régularité n'apparaît pas pour les cubes.
(n+2)^3 - (n+1)^3 = (n+2)(n+2)² - (n+1)(n+1)² = (n+2)(n²+4n+4) - (n+1)(n²+2n+1) = (n^3 + 4n² + 4n + 2n² + 8n + 8) - (n^3 + 2n² + n + n² + 2n + 1) = 3n² + 9n + 7
et
(n+1)^3 - n^3 + 2 = (n^3 + 2n² + n + n² + 2n + 1) - n^3 + 2 = 3n² + 3n + 3
Ces deux quantités ne sont pas égales donc on n'observe pas la même régularité que pour les carrés.
Ensuite ce qu'as fait Julien est encore mieux, il a proposé l'étude de la différence [(n+2)^3-(n+1)^3] - [(n+1)^3-n^3]
On a après calculs : [(n+2)^3-(n+1)^3] - [(n+1)^3-n^3] = 6n + 6 qui n'est pas constant d'où l'irrégularité
Ok ?
Arf... 
Bonsoir tout le monde...
Je reconnais que je m'étais un peu emporté.
Mais j'avais mal saisi le problème. Je croyais que lucas avait remarqué que (n+2)² - (n+1)² = (n+1)² - n² + 2 et qu'il demandait si ça se généralisait. Vu comme il a présenté le problème, je pense qu'il était assez curieux pour savoir d'où venait cette régularité. (la magie des maths! )
En gros, j'allais lui "expliquer" que
Dk(Xk) est de degré 0 où Dk est la k ième itérée de l'opérateur dérivation discrète.
Oui oui je sais je suis fou...
Bonjour tissame,
Ton idée de polluer les sujets des autres n'est pas vraiment celle qu'il faut utiliser pour avoir des réponses ici !
Pour ceux qui se demandent, oui, j'avais remarqué, mais le 2 n'est pas valable au cube...
Bref, c'est pas grave, en appliquant la formule avec n = 3, puis n = 5, et n = 7, j'ai remarqué quelque chose...
Pour le cube aucune constante n'est valable puisque la différence donne 6n + 6 qui varie en fonction de n.
Ca me paraît logique (sauf qi je n'ai pas le bon vocabulaire) si on ne peut pas représenter un nombre par une constante, on le représente par une inconnue...
*D'accord, je sors...*
Pas du tout.
Une inconnue peut très bien être une constante, elle symbolise un nombre à trouvé c'est tout.
Avec les carrés la différence était égale à 2 quelque soit n, d'où la régularité que tu as observé.
Avec les cubes la différence est égal à 6n + 6 donc dépend de la variable n, d'où l'irrégularité.
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