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une suite
une suite un peu "...." 
que je vous propose:
= 0
=
, n
; *.
a. Montrer que un > 0 pour tout n *.
b. Montrer que (un) est croissante.
c. Montrer que l'équation (1+x)N - 2Nx = 0 admet une unique solution 
N ]0;1[ pour N > 2.
d. Montrer que (un) est convergente et déterminer sa limite.
e. Montrer que la suite (N) N, N > 2 est une suite décroissante.
Voili voilou j'ai un problème pour les question d. et e. principalement. En fait, pour la d., il faut dire qu'elle est croissante et majorée donc converge et elle converge vers N. Mais je ne sais pas comment calculer N à partir de l'équation. C'est le même problème pour la e., pour montrer qu'elle est décroissante, il faut peut être avant la calculer...
Donc si vous pouvez m'aider, à votre bon coeur 
.
bonjour
a) raisonnement par récurrence
n=1 =>u1=1 u1>0
un > 0 => 1+un > 1 => (1+un)/2 > 1/2 => ( (1+un)/2 )^n > 1/2^n >0 => u(n+1) > 0
Philoux
Re
Je viens seulement de lire ton dernier §
tu as démontré b)
c'est le résultat de u(n+1)=un qui est la condition de convergence de un => un converge vers théta_n
tu ne peux pas calculer analytiquement théta_n
tu dois enfin montrer que lim(théta_n)=0 qd n->+oo
tu peux exprimer n=f(x) : (1+x)^n-x2^n=0 => ( (1+x)/2 )^n = x => n = (lnx)/ln((1+x)/2)
tu peux étudier cette fonction et montrer que que n=f(x) est décroissante => x=f-1(n) sera décroissante tendant vers 0
la courbe n=f(x) en image attachée
Philoux
A bien relire ton énoncé, je me demande s'il n'y a pas un moyen plus direct que le mien ( examen de n=f(théta) ) de répondre à ta dernière question pour montrer que théta=g(n) est décroissante...
Si d'autres mathîliens ont des idées plus... rapides, je suis aussi preneur.
Philoux
j'ai eu un indice
il faut montrer que (1 + N)N+1 - 2N+1N < 0 et comme ca on peut montrer que N < N+1 car la fonction est décroissante sur cet intervalle (enfin un intervalle qui contient ces points)
et j'aurais une question subsidiaire (toujours dans le même exo mais plus sur la suite) : comment peut-on résoudre 2N + N = 100
je sais que 6 < N < 7 mais comment le faire algébriquement ?
comment peut-on résoudre 2^N + N = 100
je sais que 6 < N < 7 mais comment le faire algébriquement ?
même réponse : méthodes de calcul itératives, graphiques...
Philoux
tu montres la croissance de la fonction puis f(6)<0 et f(7)>0 => il existe x0 tel que f(x0)=0...
Philoux
juste pour répondre à ta question
on ne peut pas résoudre exactement 2N+N=100 tout ce que tu peux faire c'est montrer qu'il existe une solution (en étidiant la fct f(x)=2x+x-100 et en montrant qu'il existe une soltuion grâce au théo des valeurs intermédiairesw si je ne m'abuses et en encadrant cette solution (ici manifestement 6<N<7)
voilà
bye
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