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Une suite

Posté par
elhor_abdelali Correcteur 08-01-24 à 20:48

Bonjour

\\ $Soit la suite $(u_n)_{n\geqslant1}$ définie par $u_1=1$ et pour tout entier $n\geqslant1, ~u_{n+1}=1+\dfrac{n}{u_n}$ \\ $1) Prouver que la suite $(u_n)_{n\geqslant1}$ est croissante. \\ $2) Pour quelle(s) valeur(s) de $n$ on a $u_n\in\mathbb N$ ? (question ouverte)$

Posté par
jandri Correcteurre : Une suite 08-01-24 à 22:27

Bonsoir,
je ne sais pas répondre aux questions mais la suite (u_n) s'exprime simplement en fonction d'une suite connue :

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Posté par
LittleFoxre : Une suite 09-01-24 à 09:52

On a u_n \le 1 + \frac{\sqrt{1+4n}}{2} \le u_{n+1}. Reste à le prouver

Posté par
LittleFoxre : Une suite 09-01-24 à 10:02

Oops, mal placé ma fraction:


u_n \le \frac{1 + \sqrt{1+4n}}{2} \le u_{n+1}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Une suite 09-01-24 à 11:07

Bonjour,
J'ai aussi cherché à utiliser \; a_{n} = \dfrac{1}{2} + \sqrt{n+\dfrac{1}{4}} .
On a \; u_{n} \leq a_{n} \Rightarrow a_{n} \leq u_{n+1}
Mais comment démontrer \; u_{n} \leq a_{n} \; ?

Posté par
LittleFoxre : Une suite 09-01-24 à 11:25

On peut démontrer a_{n-1} \le u_n \Rightarrow u_{n+1} \le a_{n+1}.

J'ai une démonstration mais elle fait une page et je suis pas sûr qu'elle soit correcte

Posté par
jandri Correcteurre : Une suite 09-01-24 à 12:15

Bonjour,
j'ai une démonstration avec peu de calculs de 1+\dfrac n{a_{n-1}}\leq a_{n+1} qui entraine l'implication de LittleFox :

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Posté par
LittleFoxre : Une suite 09-01-24 à 12:46

Joli jandri C'est du condensé

Il m'a fallu 5 lignes pour arriver à 4n \le a_{n-1}(a_{n+1}-1) = (\sqrt{4n-3}+1)(\sqrt{4n+5}-1)
Ensuite, le reste de la page consiste à se débarasser des racines. Même si wolfram alpha me disait bien que c'était équivalent à n \ge 1

Posté par
LittleFoxre : Une suite 09-01-24 à 12:58

Vu les racines, il y a peu de chance que u redevienne entier après les 3 premiers termes de la suite.

Un test rapide pour n < 2^16 n'en trouve pas.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une suite 09-01-24 à 19:21

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Posté par
matheux14re : Une suite 09-01-24 à 21:06

Bonsoir,

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Posté par
matheux14re : Une suite 09-01-24 à 21:20

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Posté par
LittleFoxre : Une suite 10-01-24 à 11:09

@elhor_abdelali

On a ces inégalité depuis le début mais c'était pas si simple de "montrer par récurrence"
Grâce à Jandri, on y est arrivé

@matheux14
Oui, u_{n+1}-u_{n} est un peu plus compliqué: u_{n+1}-u_{n} = 1+\frac{n}{u_n}-u_n = \frac{u_n + n - u²_n}{u_n}

Puisque u_n est positif, il suffit que le numérateur soit positif. Donc u²_n-u_n-n \le 0 \Leftrightarrow u_n \le \frac{1+\sqrt{4n+1}}{2}.
Et on retrouve a_n = \frac{1+\sqrt{4n+1}}{2}.

Il est facile de monter u_n \le a_n \Rightarrow a_n \le u_{n+1}:

u_{n+1} = 1+\frac{n}{u_n} \ge 1+\frac{n}{a_n} = 1+\frac{2n}{1+\sqrt{4n+1}} = 1+\frac{2n(\sqrt{4n+1}-1)}{4n+1-1} =  1+\frac{\sqrt{4n+1}-1}{2}=\frac{\sqrt{4n+1}+1}{2} = a_n

Mais il est moins facile de montrer u_{n+1} \le a_{n+1}. Grâce à la démonstration de jandri, on a a_{n-1} \le u_{n} \Rightarrow u_{n+1} \le a_{n+1}.

Avec le cas de base a_0 \le u_1 \le a_1 \equiv 1 \le 1 \le \phi , on a bien montré par récurence que \forall n \le 1, a_{n-1} \le u_n \le a_{n}.

Les suite a_n étant croissante, la suite u_n l'est aussi.

Posté par
LittleFoxre : Une suite 10-01-24 à 11:35

On voit en effet que u_n est bien coincé entre a_{n-1 et a_{n}:

Une suite

Posté par
jandri Correcteurre : Une suite 10-01-24 à 11:50

J'ai eu un peu de mal à le retrouver (cela date de plus de 4 ans) mais ce sujet me rappelait quelque chose :

Etude d'une suite récurrente (1)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Une suite 10-01-24 à 18:18

Moi ça ne me rappelait rien alors que j'ai visiblement pas mal ramé dessus il y a quatre ans !

Posté par
Imodre : Une suite 10-01-24 à 19:23

On oublie plein de choses mais on garde les mêmes intérêts , quelque part c'est plutôt rassurant

Imod

Posté par
jandri Correcteurre : Une suite 11-01-24 à 10:40

Bonjour,

de a_{n-1}\leq u_n\leq a_n on déduit facilement que u_n=\sqrt n+\dfrac12+O\left(\dfrac1{\sqrt n}\right)

Posté par
jandri Correcteurre : Une suite 11-01-24 à 21:56

Pour la recherche d'un développement asymptotique plus précis voir :
Etude d'une suite récurrente (2)

Posté par
jandri Correcteurre : Une suite 11-01-24 à 21:59

Et même une généralisation (toujours de perroquet) :
Etude d'une suite récurrente (3))

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une suite 12-01-24 à 19:30

Merci à tous pour le développement

Bravo jandri pour la preuve courte de l'inégalité 1+\dfrac n{a_{n-1}}\leq a_{n+1} qui achève la récurrence !

Posté par
jandri Correcteurre : Une suite 21-01-24 à 21:36

Bonjour,

en fait la deuxième question est une conséquence immédiate de la première.

On voit que u_1=1 et u_2=u_3=2 sont des entiers.

En reprenant la démonstration de la croissance de la suite (u_n) on montre qu'elle est strictement croissante pour n\geq3 (car a_{n-1}\leq u_n< a_n).

Pour n\geq4 on remarque alors que u_{n-1}(u_n-1)=n-1<u_n(u_n-1)<u_n(u_{n+1}-1)=n.

Cela entraine que u_n(u_n-1) n'est pas entier et par suite u_n n'est pas entier pour n\geq4.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une suite 21-01-24 à 22:46

Bravo jandri ! et merci de poursuivre

Posté par
LittleFoxre : Une suite 22-01-24 à 11:34

Woaw


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