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Une suite d'endomorphismes !

Posté par
Panter Correcteur 16-03-07 à 23:50

Salut à tous, Voici un extrait d'un concours marocain que j'ai trouvé très interessant (Chapitre "Reduction des endomorphismes"), bonne chance :

A) Soient u un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie n et \lambda une valeur propre de u.
1) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i) E_{\lambda}(u)= Ker(u-\lambda Id_{E})^2.
ii) E_{\lambda}(u)\oplus Im(u-\lambda Id_{E})=E.
iii) E_{\lambda}(u) possède un supplémentaire stable par u.
iv) la dimension de E_{\lambda}(u) est égale à la multiplicité de \lambda dans le polynome caracteristique de u.
v) \lambda est une racine simple du polynome minimal de u.

2) Montrer que dans ces conditions, Im(u-Id_{E}) est le seul supplémentaire de E_{\lambda}(u) stable par u.


B)Supposons maintenant que u est 1-Lipschitzien et que E est un espace vectoriel normé réel ou complexe de dimension finie n .
1) Montrer que E_{1}(u)\oplus Im(u-Id_{E})=E .
2) Montrer que la suite des endomorphismes : v_{k}= k^{-1}(Id_{E}+...+u^{k-1}) est convergente dans \mathfrak{L}(E) et déterminer sa limite .

Posté par
raymond CorrecteurUne suite d'endomorphismes ! 17-03-07 à 03:19

Bonsoir.

Ce problème est un cas particulier du théorème de décomposition des noyaux et de la théorie des sous-espaces caractéristiques. Cependant, je présume qu'il faut le résoudre sans utiliser ces procédés puissants. Essayons !
Pour des questions de clavier, je me permets de désigner par µ la valeur propre.

A.

1°).

¤ (i) => (ii).
x € Ker(u - µe)Im(u - µe) => (u - µe)(x) = 0 et x = (u - µe)(x') => 0 = (u - µe)²(x')
=> x' € Ker(u - µe)² => x' € Ker(u - µe) => (u - µe)(x') = x = 0.
D'où Ker(u - µe)Im(u - µe) = {0}. Par les dimensions, on en déduit bien que :
E = Ker(u - µe)\bigoplusIm(u - µe) ou E = Eµ(u)\bigoplusIm(u - µe)

¤ (ii) => (iii).
y € Im(u - µe) => y = (u - µe)(x) => u(y) = uo(u - µe)(x) = (u - µe)(u(x)) => u(y) € Im(u - µe).
Ceci montre que Im(u - µe) est u-stable. Donc :
Eµ(u) possède un supplémentaire u-stable

¤ (iii) => (iv).
Posons dim(Eµ(u)) = p. On sait que p est inférieur ou égal à la multiplicité de µ dans le polynôme caractéristique Pu(X).
On a donc : il existe F, u-stable tel que E = Eµ(u)\bigoplusF.
En choisissant une base B adaptée à cette somme directe, on aura :
A = Mat(u,B) = 3$\textrm\begin{pmatrix}\mu.I_p&O\\O&B\end{pmatrix}
où B est carrée d'ordre n-p.
Comme le polynôme caractéristique ne dépend pas de la base, on peut le calculer avec A, cela donne :
Pu(X) = (X - µ)p.Q(X). A cause de la somme directe, Q(µ) est non nul, donc la multiplicité de µ est p. Donc :
la multiplicité de µ dans Pu est égale à la dimension de Eµ(u)

¤ (iv) => (v).
Par le théorème de Cayley-Hamilton, Pu(u) = O, donc, pour tout x € E, (u - µe)poQ(u)(x) = 0.
Ceci montre que Q(u)(x) appartient à Ker(u - µe)p = Ker(u - µe), donc :
pour tout x € E, (u - µe)oQ(u)(x) = 0. Cela signifie que (X - µ)Q(X) est un polynôme annulé par u : c'est un multiple du polynôme minimal u(X). Donc :
µ est racine simple de u(X).

¤ (v) => (i).
Ici, je cale pour le moment, peut-être à cause de l'heure très avancée, mais surtout parce que j'ai de la difficulté à ne pas utiliser tous les théorèmes très forts adaptés à cette situation.
Nous verrons plus tard ... Si quelqu'un veut prendre la relève, cela ne me fâchera pas !

A plus RR.

Posté par
Panter Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 17-03-07 à 15:04

Vous avez très bien resolue le A (presque, car il vous reste (v) => (i) et le A-2) ).Mais en fait, c'est le B qui est interessant dans cet EXO

Posté par
raymond Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 17-03-07 à 15:54

Bonjour.

Je termine A.

¤ (v) => (i).
Rappelons que :
- si R(u) et S(u) sont deux polynômes en u, R(u)oS(u) = S(u)oR(u).
- Ker(u - µe) Ker(u - µe)²

Je suppose donc que le polynôme minimal de u s'écrit : u(X) = (X - µ)Q(X).
Comme Q(µ) est non nul, (X - µ) et Q(X) sont premiers entre eux. Le théorème de Bezout assure l'existence de deux polynômes A et B tels que A.(X - µ) + B.Q(X) = 1. Donc : A(u)o(u - µe) + B(u)oQ(u) = e.
Ainsi, pour tout x € E, x = A(u)o(u - µe)(x) + B(u)oQ(u)(x). En composant par u - µe :
(u - µe)(x) = A(u)o(u - µe)²(x) + (u - µe)oB(u)oQ(u)(x) = A(u)o(u - µe)²(x) + B(u)ou(x) = A(u)o(u - µe)²(x). Finalement :
pour tout x dans E, (u - µe)(x) = A(u)o(u - µe)²(x).
Alors : x € Ker((u - µe)²) => (u - µe)(x) = 0 => x € Ker(u - µe).
Ker(u - µe) = Ker(u - µe)²

Conclusion générale : les propositions (i) à (v) sont équivalentes.

Je vais regarder la suite.
A plus RR.

Posté par
Panter Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 18-03-07 à 01:09

Il n'y a que raymond qui relève le défit ?

Posté par
raymond Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 18-03-07 à 11:11

Bonjour.

Pour la suite, je me pose plusieurs questions :

¤ Pour A 2°) il s'agit plutôt de Im(u - µe)
¤ Pour B, u vérifie donc : pour tout x € E, ||u(x)|| ||x|| ?
D'autre part, dans ce B, on ne suppose plus que u vérifie A ?

A plus RR.

Posté par
Panter Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 18-03-07 à 11:54

ah oui, il y a un \lambda qui manque pour A-2) (Faute de frappe ).
bon pour la B) :

1) posez x \in Ker(u-Id_E)^2 et y = (u-Id_E)(x), puis utiliser la recurrence pour trouver : u^{k}(x)=x+ky (pour commencer)...

Posté par
raymond Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 18-03-07 à 12:23

Merci pour l'indication. Mais je te demandais si nous étions d'accord pour la définition de "1-Lipschitzienne" :
pour tout x € E, ||u(x)|| ||x|| ?
Pour moi cela entraine que |||u||| 1 et que {µ, µ € Sp(u)} est inclus dans la boule unité de C.

Je te montre ce que j'ai fait.

1°). On distingue deux cas :

a) 1 \notin Sp(u). Dans ce cas, la somme directe est évidente E = {0}\bigoplusE
b) 1 \in Sp(u). Alors, Ker(u - µe) est non réduit à {0}.
Je vais chercher dans la direction que tu m'indiques.

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 18-03-07 à 13:23

B

1°).

x € Ker(u - e)² => u²(x) - 2u(x) + x = 0 : (I)
Soit y = (u - e)(x), alors, u(x) = x + y. En reportant dans (I) :
u²(x) = x + 2y.
Or, ||u²(x)|| =||u(u(x))|| ||u(x)|| ||x||.
On arrive donc à ||x + 2y|| ||x||, ce qui entraine y = 0.
Donc (u - e)(x) = 0, et par suite x € Ker(u - e).
Cela signifie que Ker(u - e)² = Ker(u - e) : on se retrouve sous les hypothèses de la partie A.
E = Ker(u - e)\bigoplusIm(u - e)

Je passe à 2°).

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 18-03-07 à 15:35

Utilisons la décomposition E = Ker(u - e)\bigoplusIm(u - e).
Pour tout X € E, X = x + y (uniques). y = (u - e)(a) => y = u(a) - a
Alors,
k.sk(X) = x + y + x + u(y) + ... + x + uk-1(y) = k.x + \Bigsum_{i = 0}^{k-1}u^i(y)

k.||sk(X) - x|| = \Bigsum_{i = 0}^{k-1}u^i(y)

Premier cas

||u(y)|| = ||y|| signifie que le passage y -> u(y) correspond à une rotation, donc : u(y) = e^{it}.y \ , \ t \neq 2k\pi. Alors,
u^p(y) = e^{ipt}.y
On se retrouve avec \frac{1-e^{ikt}}{1-e^{it}} qui est majorée en module par \frac{1}{|sin(t/2)|}. Donc :
k.||sk(X) - x|| \frac{1}{|sin(t/2)|}||y||.
Donc : pour tout X, sk(X) tend vers x.

Deuxième cas

||u(y)|| < ||y||

On se ramène encore à une somme bornée en posant u(y) = z.y, z = r.e^{it} \ , \ r < 1

Ainsi, dans tous les cas, on a : sk(X) converge vers x.
En appelant p le projecteur sur Ker(u - e) parallèlement à Im(u - e), on aura :

3$\textrm\fbox{lim_{k\to{+\infty}}s_k = p}

Ouf ! A plus RR.

Posté par
Panter Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 18-03-07 à 22:39

FELICITATION RR

Posté par
raymond Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 18-03-07 à 23:02

Merci Panter.

Quelle est l'origine de ce sujet intéressant ?
J'aurais aimé que d'autres iliens se penchent sur la question, mais visiblement elle n'a pas eu beaucoup de succès.

Cordialement \scr{RR}.

Posté par
Panter Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 18-03-07 à 23:41

C'était un extrait d'un concours marocain je pense session 1998

Posté par
Roulianere : Une suite d'endomorphismes ! 18-03-07 à 23:44

En même temps Raymond, c'est aussi le fait que tu ai commencé sur le topic qui fait que peu de personnes ont répondu je pense. ( dont moi, même si j'aurais été incapable de faire 30% de ce que tu as fait)

Posté par
raymond Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 19-03-07 à 00:00

Bonsoir Rouliane.
Tu as raison, lorsqu'un sujet est abordé par quelqu'un, on a tendance à le laisser continuer, de peur de le couper dans son élan.
Panter : je ne sais pas si l'on peut comparer les programmes entre la France et le Maroc, mais effectivement, les grands théorèmes tournant autour de ce thème ont été supprimés en France des programmes de spé M aux alentours des années 1993. Ceci montre qu'il fallait bien prouver les résultats de la partie A par des procédés "élémentaires".

Bonne soirée à tous les deux. A plus RR.

Posté par
Roulianere : Une suite d'endomorphismes ! 19-03-07 à 00:12

Bonne soirée Raymond

Posté par
Panter Correcteurre : Une suite d'endomorphismes ! 19-03-07 à 00:57

bonsoir


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