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Une suite de fonctions

Posté par
babeth107
24-01-23 à 14:59

Bonjour à tous,
je travaille sur ce DM et je suis bloquée à l'avant dernière question 4/ a).

fn(x) = (exp(x)-1)/x + nln(x)
gn(x) = (x-1)exp(x)+nx+1

αn est l'unique solution tel que fn(αn) = 0 sur ]0;1[

4/ a) Montrer que pour tout n ≥1, αn ≥ exp((1-exp)/n)

Pouvez-vous s'il vous plait m'éclairer ?
Merci d'avance

Une suite de fonctions

Posté par
lake
re : Une suite de fonctions 24-01-23 à 15:37

Bonjour,

4)a) Tu as f_n(\alpha_n)=0=\dfrac{e^{\alpha_n}-1}{\alpha_n}+n\ln(\alpha_n)<e-1+n\ln(\alpha_n)

  d'après ce qu'on t'indique en début de question.

Posté par
babeth107
re : Une suite de fonctions 24-01-23 à 15:39

Oui j'ai commencé à noter cela sur mon brouillon mais ne sais pas comment continuer...

Posté par
lake
re : Une suite de fonctions 24-01-23 à 15:42

Voyons : tu as l'inéquation :

 e-1+n\ln(\alpha_n)>0

qu'il faut résoudre en \alpha_n  oui ?

Posté par
babeth107
re : Une suite de fonctions 24-01-23 à 15:52

AH OUI !

e - 1 + n* ln(αn) > 0 <=> e-1/n > ln(αn) <=> exp(e-1/n) > αn

Posté par
lake
re : Une suite de fonctions 24-01-23 à 15:54

Il manque des parenthèses et tu t'es trompé(e) dans le sens des inégalités.
Peut-être invoquer la croissance de la fonction exp à la dernière étape.
Mais globalement et aux erreurs près, c'est ça

Posté par
lake
re : Une suite de fonctions 24-01-23 à 15:56

Il y a surtout une erreur de signe



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