Pour la première question, on peut utiliser une récurrence :
P₁=X²+X
P₀=X
donc
P₀ divise P₁.
Supposons que P_n divise P_2n+1
P_2(n+1)+1=P_2n+3=P_2n+2²+X
=(P_2n+1²+X)²+X
or d'après l'hypothèse de récurrence, P_2n+1=QP_n avec Q un polynôme
=QP_n⁴+2QP_n²X+X²+X
et on remplace P_n² par P_n+1-X
Je te laisse poursuivre le raisonnement.

Encore cet ensemble de Mandelbroot j'ai l'impression...

Oui, c'est la version polynomiale de la suite de Mandelbrot mais je ne sais pas si cela va beaucoup aider elhor_abdelali

Bein elhor_abdelali semble travailler sur les ensembles de Mandelbroot, depuis quelque temps déjà, il disait vouloir montrer la connexité de l'ensemble (chose qui se fait sans tout ce travail cependant).
A+

Effectivement c'est bien la suite de polynomes définissant l'ensemble de mandelbrot noté M.J'ai trouvé intéréssantes quelques propriétés des polynomes Pn:racines de module <2,si Pn'(z)=0 on a |Pn(z)|<=2
ce qui donne que les ensembles Mn ={z/|Pn(z)|<=2} sont connexes et donc leur intersection aussi(ie M est connexe)
Attention Victor,une petite erreur s'est glissée dans ton raisonnement
Otto,peut tu m'expliquer comment on montre la connexité de M ? merci

Je ne comprend pas, ce n'est pas parce que les ensembles sont connexes, que la propriété est conservée par intersection..

Un exemple:
Dr le disque de centre 0 et de rayon r:
Considère T=D2-D1, ainsi que le R rectangle de hauteur 6, de largeur 1/2 et de centre 0.

l'intersection de T et de R est non connexe, pourtant T et R le sont.
Cependant le résultat est vrai si l'un des ensemble contient l'autre.

Bonjour otto,
le résultat utilisé pour déduire la connexité de M est le suivant:
[u]théorème:[/u]
Dans un espace métrique E ,l'intersection d'une suite décroissante de parties compactes connexes non vides de E est une partie compacte connexe non vide de E.
preuve:
notons (Kn)n une telle suite et K=Kn
K est compacte non vide (résultat connu)
soit alors U et V 2 ouverts disjoints de E tels que:
K UV

[u]lemme: [/u]n0 / Kn0UV .
preuve du lemme:sinon tout Kn rencontrerait F=E\(UV) (fermé)et (FKn)n serait donc une suite décroissante de compactes non vides mais d'intersection vide ce qui est absurde.

soit alors Kn0UV comme il est connexe on a soit UKn0K
soit VKn0K
c'est à dire que K est connexe.
CQFD

Pour montrer que Pn divise P2n+1 on peut établir que:
nk*
i=k-1
Pn+k+1 - Pk = (Pn)² * (Pn+i+1 + Pi)
i=0
(récurrence sur k avec n quelconque)
puis en faisant k=n on a:
i=n-1
P2n+1 = Pn * [ 1 + Pn * (Pn+i+1 + Pi) ]
i=0
ce qui prouve bien que Pn divise P2n+1 et P2n+1/Pn premier avec Pn
c'est à dire que les racines de Pn sont racines de P2n+1 avec le meme ordre de multiplicité.

Pour montrer l'équivalence:[ Pn divise Pm(n+1)divise(m+1) ]on peut se servir de l'identité précédente on a en effet:
i/ pour n i=k-1
Pm - Pk = (Pn)² * (Pn+i+1 + Pi)
i=0
donc si Pn divise Pm on a aussi:
Pn divise Pk=Pm-(n+1) puis
Pn divise Pk-n-1=Pm-2(n+1) jusqu'à
Pn divise Pr où r est le reste de la division euclidienne de m par n+1
et donc que r=n puisque nrn
ie m=q(n+1)+n et donc m+1=(q+1)(n+1)

ii/ réciproquement si m=q(n+1)+n on a pour k=(q-1)(n+1)+n
(Pn)² divise Pm - Pk = Pq(n+1)+n - P(q-1)(n+1)+n puis par téléscopie
(Pn)² divise Pm - Pn ie Pn divise Pm et Pm/Pn premier avec Pn
ainsi toute racine de Pn reste racine avec le meme ordre de multiplicité des Pq(n+1)+n (q quelconque)
CQFD