Niveau terminale

Une suite pour approcher ln 2

Posté par
meso15 07-05-21 à 09:03

Bonjour à tous !

J'ai besoin d'aide dans la question 4 de cet exercice et j'aimerais que vous jetiez un coup d'oeil sur mes réponses svp.

1. Montrer que $\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}\frac{1}{1-x}dx=ln2$

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}\frac{1}{1-x}dx=[-ln(1-x)]^{\frac{1}{2}}_{0}=-ln\frac{1}{2}+ln1=-ln\frac{1}{2}=-(-ln2)=ln2$

2. Pour tout entier k ≥1, calculer en fonction de k l'intégrale $u_{k}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}x^{k-1}dx$

$u_{k}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}x^{k-1}dx=[\frac{1}{(k-1)+1}x^{(k- 1)+1}]^{\frac{1}{2}}_{0}=[\frac{1}{k}x^{k}]^{\frac{1}{2}}_{0}=\frac{1}{k}(\frac{1}{2})^k=\frac{1}{k}\times \frac{1^k}{2^k}=\frac{1}{2^kk}$

3. Pour tout entier n ≥ 1 on pose $v_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n}= \sum_{k=1}^{n}{}{u_{k}}$

3.1. Montrer que pour tout n ≥ 1 on a $v_{n}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}\frac{1-x^n}{1-x}dx$

Pour tout entier $k\geq 1$ , on a $u_{k}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}x^{k-1}dx$
Posons la fonction f définie par $f(x)=x^{k-1}$ pour tout entier tex]k\geq 1[/tex] sur [0 ; 1/2].

On sait que $v_{n}=\sum_{k=1}^{n}{}{u_{k}}$
Or, $u_{k}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}x^{k-1}dx$
Ainsi, la sommes des intégrales d'une fonction est l'intégrale de la somme de cette fonction
Donc $\sum_{k=1}^{n}{}{u_{k}}=\sum_{k=1}^{n}{}{\int_{0}^{\frac{1}{2}}}{}x^{k-1}dx={\int_{0}^{\frac{1}{2}}}{} \sum_{k=1}^{n}{} x^{k-1}dx$
Calculons $\sum_{k=1}^{n}{} x^{k-1}dx$ d'abord :
$\frac{x^{(k-1)+1}}{x^{k-1}}=\frac{x }{x^{k-1}}=\frac{x^k}{x^{k}\times x^{-1}}=\frac{1}{x^{-1}}=x$
donc $x^{k-1}$ est une suite géomètrique de raison x
Donc on peut appliquer la formule de calcul de somme d'une suite

$\sum_{n=1}^{n}{}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} pour n\in N et q\neq 1$
Donc:
$\sum_{n=1}^{n}{x^{k-1}}=\frac{1-x^{(n-1)+1}}{1-x}=\frac{1-x^{n}}{1-x}$
On constate $\sum_{n=1}^{n}{u_{k}}=v_{n}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}\frac{1-x^n}{1-x}dx$

3.2. En déduire que $v_{n}=ln2-\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}\frac{x^n}{1-x}dx$

$ln2-\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}\frac{x^n}{1-x}dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}\frac{1}{1-x}dx-\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}\frac{x^n}{1-x}dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}(\frac{1}{1-x})-(\frac{x^n}{1-x})dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}\frac{1-x^n}{1-x}dx=v_{n}$

4. On pose $R_{n}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}\frac{x^n}{1-x}dx$

4.1 Montrer que pour tout réel x∈[0 ; 1/2] et tout entier n≥ 1 on a $0\leq \frac{x^n}{1-x}\leq \frac{1}{2^{n-1}}$

c'est sur cette question que je me bloque, j'ai réussi à montrer que $0\leq \frac{x^n}{1-x}$ mais pas que $\frac{x^n}{1-x}\leq \frac{1}{2^{n-1}}$ . Comment faire ?

4.2. En déduire que 0≤ $R_{n}\leq \frac{1}{2^n}$
Cette question dépend de celle d'avant donc je n'ai pas pu la faire

4.3. Démontrer que $\lim_{n\rightarrow +\infty}(v_{n})=ln2$
Pour cette question, je voulais calculer la limite de $v_{n}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{}\frac{1-x^n}{1-x}dx$ je ne l'ai pas appris encore

5. Écrire un algorithme Python permettant de calculer $v_{n}$ pour un entier n donné.

From lycee import*
n=int(input("entrer n")
v=float(0)
for i in range (1,n):
v=v+1/((2**i)*i)
print (v)

Je vous remerci d'avance,

Posté par re : Une suite pour approcher ln 2 07-05-21 à 10:53

Bonjour,
Tu peux traiter 4)2. en admettant et utilisant le résultat de 4)1.

Posté par re : Une suite pour approcher ln 2 07-05-21 à 11:03

Pour 4)1. :
Transforme la différence $\;$ $\dfrac{1}{2^{n-1}} - \dfrac{x^n}{1-x}$ .
En réduisant au même dénominateur, qui est positif, on obtient le numérateur $\;$ $1-x - 2^{n-1}x^n$ .
Il reste donc à démontrer $\;$ $x + 2^{n-1}x^n \leq 1$ .
Or $\;$ 0 x 1/2 $\;$ ; donc $\;$ $x^n \leq \: ?$

Posté par re : Une suite pour approcher ln 2 07-05-21 à 11:06

Pour 4)3. utiliser 3)2. et la limite de R_n.

Posté par re : Une suite pour approcher ln 2 07-05-21 à 11:08

Pour 5), je ne suis pas compétente.

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