Bonsoir,
J'ai un exercice à faire mais même en relisant le cours je n'arrive pas à le commencer. Il porte sur l'union de 2 sous espaces vectoriels.
Enoncé: Soient E un K-espace vectoriel, F et G 2 sous-espaces vectoriels de E. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur F et G pour que FG soit un sous-espace vectoriel de E.
Pourriez-vous me donner quelques pistes afin de commencer l'exercice?
Merci
Bonjour,
La première piste est de faire un dessin !
Par exemple dans le plan , regarde et où est la base canonique de .
Pourquoi ne peut pas être un espace vectoriel ? (fais le dessin)
Bonsoir,
si FG est un espace vectoriel alors :
On a donc ou d'où ou .
Je te laisse conclure que L'un des sev est inclus dans l'autre.
Merci verdurin de ta réponse.
J'aimerai quand même comprendre avec le dessin. En le faisant je n'arrive pas à représenter FG, comment faire?
Je ne pense pas que ce soit un EV, toutes les combinaisons linéaires de F=vect(e1) et G=vect(e2) est un EV non?
Merci Narhm
Bonjour verdurin
Voici une image pour t'illustrer mon exemple :
La réunion de F et G c'est la croix. Mais tu vois bien que est un vecteur du plan, donc s'écrivant sous la forme , sans pour autant appartenir à .
Ce n'est pas très "vectoriel" tout ça.
Merci pour ton dessin.
Donc si je comprends bien il faudrait que tous les vecteurs de la forme appartiennent à pour que soit un espace vectoriel?
Ton dessin illustre très bien le problème.
L'union de 2 sous espaces vectoriels n'est un sous espaces vectoriel que si l'un est inclus dans l'autre. Dans ce cas c'est trivial.
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