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Utilisation des droites remarquables
Bonjour ! J'aurai besoin d'aide pour l'exercice suivant. Il n'est pas demandé de démontrer mais notre professeur nous à dit de le faire. Aidez-moi je n'y arrive pas .
Les droites (MA) et (MB) sont les tangentes du cercle C issues du point M.
a) Que représente le point I milieu du segment [OM] pour le triangle MAB ?
b) Soit H le symétrique de O par rapport à l'axe (AB). Que représente H pour le triangle MAB ?
I est le point d'intersection des médiatrices et H l'orthocentre. Comment le prouver ?
Merci
Bonjour Nanaelle.
Tu sais qu'une tangente est perpendiculaire à son rayon associé, donc : (AO) et (AM) sont perpendiculaires. Si tu traces la médiatrice de [AM], elle passera par le milieu A' de ce segment et sera parallèle à (AO). Par le théorème de Thalès, elle passera donc par I. Par symétrie, tu peux recommencer avec (MB). Conclusion : I est le point de concours des médiatrices de ABM, c'est le centre du cercle circonscrit à ABM.
Pour le point H, je cherche.
A plus, cordialement RR.
Pour l'orthocentre, tu sais que: AHBO est un parallélogramme (diagonales se coupent en leur milieu).
donc (BH) \\ (OA)
or (OA) perpendiculaire à(AM),
donc (BH) et (AM) orthogonales.
Soit tu procède de la même façon, soit tu sais déjà que MO est une hauteur, donc tu peux conclure...
En effet
HAOB losange ayant les diagonales secantes en leur milieu
(AH)//(OB)
or (OB) perp à (BM) (angente)
donc (AH) perp a (BM)
Alors (AH) hauteur
or (MH) hauteur car (MO) perp a (AB)
d'ou le resultat
Bonjour Nanaelle,
Pour le point H, on remarque que les diagonales du quadrilatère AHBO se coupent en leur milieu, par conséquent AHBO est un parallélogramme, donc [HB] // à [AO] et [HA] // à [BO].
Or [AO] ortho à [AM], donc [HB] ortho à [AM].
Or [BO] ortho à [BM], donc [HA] ortho à [BM].
H est bien le point de concours des hauteurs du triangle AMB, H est l'orthocentre.
...
ben un petit point manque a ma demo
HAOB losange ayant les diagonales secantes en leur milieu
Et car aussi les diag sont perpendiculaires
sinon le quadrilatere ne sera qu'un parallelogramme
masi dans les deux cas ca aura servi a la demo car le but c'etait de dire que les cotes opposes sont paralleles
----> pgeod
c'est pas grave que tu seois en retard
mais je me permets de te faire une petite remarque
les segments sont des ensembles de points
donc ne sont pas paralleles ou perpendiculaires
ce sont leurs directions qui le sont
et la direction d'un segment est représentée par sa droite
donc au lieu d'ecrire
[AB]//[MN] faut ecrire (AB)//(MN)
de meme pour dire qu'elles sont perpendiculaires
@ +
---> nikole
Je te remercie de ces précisions.
Il en est une pourtant qui m'intéreserait : Comment se fait-il qu'il soit correct de dire que "les cotés opposés d'un parallèlogramme ABCD sont parallèles", mais qu'en revanche il ne soit pas permis de traduire sous la forme [AB] // [DC].
Je te remercie de ta réponse, en toute cordialité.
...
par "les cotes opposes sont paralleles" on entend dire les supports des cotes ou plutot les directions des cotes sont paralleles"
du point de vue phrase (français) on laisse passer qques manques de precision (comme dire que deux cotes sont egaux au lieu de dire qu'ils sont isometriques) mais en utilisant les symboles, vaut mieux etre plus minutieux
et voilà 
l'erreur qui se trouve ds le fait de dire deux cotes sont egaux pour dire qu'ils ont meme longueur c'est que ca signifie qu'ils sont confondus
[AB] et [CD] sont egaux <=> [AB]=[CD] <=> {points situes sur la ligbe droite entre A et B}={points situes sur la ligne dte entre C et D} <=> les deux segments sont confondus
mais on laisse passer telle expression a condition de respecter l'usage des symboles
AB=CD et non pas [AB]=[CD]
Voici une autre preuve pour H.
Soit C le point diamétralement opposé à A sur le cercle de centre O. On sait que ABC est rectangle en B (théorème classique de troisième).
Soit L le point de rencontre de (AH) et de (BM).
Posons :
Par symétrie :
Par les angles inscrits :
Donc, dans le triangle ABL,
Ainsi, (AL) est hauteur dans ABM. Comme (OM) est une autre hauteur de ce triangle, H est bien l'orthocentre de ABM.
Cordialement RR.
merci à tous pour vos réponses. ça m'a bien aidé.
Bon maintenant j'ai un autre problème.
Je n'arrive pas à démontrer une égalité. Mais je crois que j'ai réussi à répondre à la première partie de l'exercice. Si vous pouvez me le confirmer. Le voilà:
ABCD est un parallélogramme de centre O.
a) que représente F pour le triangle ADB ?
En déduire FD = 2 FE.
F étant le centre de gravité du triangle ADB, DF = 2/3 DE donc DF= 2FE ???
b) Démontrer l'égalité: FD au carré = FE * FG
pour la a) si E est bien le milieu de [AB] alors oui, tu pouurais rajouter des étapes explicatives pour " DF = 2/3 DE donc DF= 2FE".
Soit:
DF=2/3 DE et FE=1/3 DE donc DF=2FE
ou:
DF=2/3 DE
DF=2/3 (DF+FE)
1/3 DF= 2/3 FE
DF=2FE
Pour le b) tu n'as pas préciser ce qu'est G.
G est le symétrique de D par la symétrie de centre E
Merci encore. Dernier problème que je pense avoir fini mais dont j'aimerai une vérification.
Soit un cercle C de diamètre [AB], et M et N deux points du cercle situés de part et d'autre de ce diamètre.
La droite (MN) coupe (AB) en R.
(RS) perpendiculaire à (AM) et (RT) perpendiculaire à (AN).
Montrer que (ST) et (MN) sont parallèles
ASM et ATN sont alignés dans le même ordre.
De ces égalités de rapport on déduit:
AS/AM = AT/AN
Or S appartient à [AM] et T appartient à [AN] ainsi d'aprés la réciproque du th. de Thalès: ST//MN
Vous êtes d'accord ?
Merci d'avance
ok, donc en fait, je pense que le plus simple est de partir de FE*FG.
FE*FG=1/2 FD*(FE+EG)
FE*FG=1/2 FD*(FE+DE)
FE*FG=1/2 FD*(1/2 FD+3/2 FD)
FE*FG=1/2 FD*2FD
FE*FG=FD²
Nanaelle, ce n'est pas parce que A,s,M et A,T,N sont alignés ds le même ordre que AS/AM = AT/AN... C'est justement ce que tu dois montrer si tu veux utiliser la réciproque tu th de Thalès...
Tu sais que ANB rectangle en N, et AMB rectangle en B.
je suppose (car tu as oublier de le préciser que S est la projection ortogonal du point R sur AM, et T celle de ce même pt sur AN), donc ASR rectangle en S et ATR rectangle en T.
On a (SR)//(MB) et (RT)//(BN).
Ensuite tu montres que ya le même rapport entre SR MB et RT BN,avec Thalès, et puis tu peux conclure en parlant de triangles semblables.
A moins que tu connaisses les homothéties, auquel cas tu peux faire cette question avec ça.
ah ok. merci beaucoup. à bientôt !!!
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