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Utiliser la méthode itérative d

Posté par
Nunusse 13-03-21 à 13:13

Bonjour, j'ai un dm de spé maths avec lequel j'ai des difficultés. Alors voilà:
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; , ).
On s'intéresse aux fonctions f dérivables sur [0 ; +[ solutions (0;+[ de l'équation différentielle (E): y'=4-y2
On admet qu'il existe une unique fonction f solution de (E) vérifiant f(0)=0

PARTIE A : ETUDE D'UNE SUITE
Afin d'obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f, on utilise la méthode itérative d'Euler avec un pas égal à 0,2.
On pose alors x0=0 et pour tout entier naturel n, xn+1=xn+0,2

1.a) On suppose que pour tout réel a de l'intervalle (0;+(, f(a+0,2) est très proche de 0,2f'(a)+f(a).
Montrer que f(xn+1) est très proche de -0.2f(xn)2+f(xn)+0.8.

Je pense que je dois partir du fait que f est solution de (E) mais je vous avoue que je n'ai pas compris plus que ça.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
lakere : Utiliser la méthode itérative d 13-03-21 à 13:31

Bonjour,

Sais-tu ce qu'est l' "approximation affine" d'une fonction ?

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 13-03-21 à 13:34

Non qu'estce que c'est svp?

Posté par
lakere : Utiliser la méthode itérative d 13-03-21 à 13:35

Mince, je n'avais pas vu ceci:

  

Citation :
On suppose que pour tout réel a de l'intervalle (0;+(, f(a+0,2) est très proche de 0,2f'(a)+f(a).


Il faut l'utiliser dans f(x_{n+1})=f(x_n+0.2) avec a=x_n.

Posté par
carpediemre : Utiliser la méthode itérative d 13-03-21 à 13:37

salut

f(x_{n + 1}) = f(x_n + 0,2) \approx 0,2f'(x_n) + f(x_n) = ...

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 13-03-21 à 13:42

D'accord donc j'ai a=xn+2=xn+1
et étant donné que f(a+2)0.2f'(a)+f(a)
On a f(xn+1)0.2f'(xn)+f(xn).
Puis je remplace f'(xn) par 4-f(xn)2

C'est cela ?

Posté par
lakere : Utiliser la méthode itérative d 13-03-21 à 13:44

Mais oui! Quoi d'autre ?

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 13-03-21 à 13:45

ah génial merci

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 14-03-21 à 15:41

Bonjour après d'autres questions que j'ai réussi à faire je me demandais pour celle-ci:
2.a) Pour tout réel x, on pose p(x)=-0.2x2+x+0.8. Montrer que si x (0;2), alors p(x) (0;2)

J'ai étudié les variations de de p sur (0;2) à l'aide de la dérivée, et vu que p était strictement croissante.
p est continue car p est une fonction polynôme.
Ensuite p(0)=0.8
et p(2)=2
Donc 0<p(0)<p(2)2

Je me demandais donc, puis-je dire d'après le théorème des valeurs interdites, si x (0;2), alors p(x) (0;2)dans ma rédaction ? ou le d'après le théorème des valeurs interdites n'est valable que pour montrer qu'il existe une unique solution dans cet intervalle.

Posté par
carpediemre : Utiliser la méthode itérative d 14-03-21 à 16:26

je ne connais pas ce théorème ...

connaissant les variations de p un simple calcul par encadrement suffit ...

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 14-03-21 à 16:36

théorème des valeurs intermédiaires*

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 14-03-21 à 16:37

mais d'accord merci je m'arrêterai donc à là

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 14-03-21 à 17:46

Je dois maintenant montrer que pour tout n, 0yn2.

Je vais donc montrer ceci par récurrence. Cependant à l'hérédité, je suis parti de:
0yn20.2yn+11.6+yn mais je trouve cela un peu bizarre que qu'est-ce qui  me dit que 1.6+yn<2 ?
N.B: je ne vous ai pas noté toutes les étapes pour arriver à la

Posté par
lakere : Utiliser la méthode itérative d 14-03-21 à 20:40

y_{n+1}=-0.2y_n^2+y_n+0.8

Soit g la fonction définie par g(x)=-0.2x^2+x+0.8

Tu peux vérifier que cette fonction est croissante sur ]-\infty,2.5]

  donc si x\leq 2, alors g(x)\leq g(2) (or g(2)=2)

Bref, avec x=y_n, tu dois arriver à tes fins pour l'hérédité de la récurrence.

Posté par
lakere : Utiliser la méthode itérative d 14-03-21 à 20:43

J'aurais plutôt du écrire:

  

Citation :
donc si 0\leq x\leq 2, alors g(0)\leq g(x)\leq g(2)    (or g(0)=0.8\geq 0 et g(2)=2)


  

Posté par
lakere : Utiliser la méthode itérative d 14-03-21 à 21:28

>> Nunusse,

J"en rajoute une toute petite couche :

Dans les suites récurrentes du type y_{n+1}=g(y_n), on a toujours intérêt à étudier les variations de la fonction g avant d'attaquer d'éventuelles récurrences.

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 20-03-21 à 17:00

Bonjour,
N'est-il pas possible de malgré tout partir de 0yn2 pour arriver à montrer que 0yn+12 ? A un moment dans les question on me dit que:
yn+1=-0.2yn2+yn+0.8
et après avoir refait mon hérédité (je m'étais trompée la première fois) j'ai:
0yn2 0yn2 4 0-0.2yn2-0.8
yn+0.8-0.2yn2+yn+0.8yn
yn+0.8yn+1yn
ynyn+1yn+0.8

Posté par
carpediemre : Utiliser la méthode itérative d 20-03-21 à 17:03

bien sûr mais cela n'est possible qu'avec la forme canonique dans le cas le plus général ... comme ici ...

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 20-03-21 à 18:37

Oui je vais quand même faire comme lake a dit:
on a p(yn)=yn+1
et comme 0yn2 (hypo récu)
et p est strictement croissante sur [0;2] donc p(0)p(yn)p(yn+1)20.8yn+12
vous validez ?

Posté par
lakere : Utiliser la méthode itérative d 20-03-21 à 18:46

Citation :
vous validez ?


Ah non !

Tu utilises des équivalences à tout va (qui sont fausses).
L'hérédité d'une récurrence consiste à utiliser des implications.
A partir de l'hypothèse de récurrence :

0\leq y_n \leq 2, on en déduit (une implication) :

p(0)\leq p(y_n)\leq p(2)

Tu peux continuer : il faut monter que :

0\leq y_{n+1}\leq 2

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 20-03-21 à 18:58

on a yn+1=p(yn)
on sait que 0yn2 (hyp récu)
or p(yn) est strictement croissante sur [0;2]
donc on a:
p(0)p(yn)p(2)00.8yn+12
c'est mieux ?

Posté par
carpediemre : Utiliser la méthode itérative d 20-03-21 à 19:00

p(x) = y = -0,2x^2 + x + 0,8 \iff -5y = x^2 - 5x - 4 = (x - 5/2)^2 -39/4

0 \le x \le 2 => -5/2 \le x - 5/2 \le -1/2 => 1/4 \le (x - 5/2)^2 \le 25/4 => -9,5 \le -5y \le -4 => 0 \le 4/5 \le y \le 9,5/5 \le 2



PS : peut-être une petite erreur ... vu que p(2) = 2 ...

Posté par
carpediemre : Utiliser la méthode itérative d 20-03-21 à 19:02

mais le principe est là ...

évidemment l'étude des variations est peut-être plus rapide mais tellement mécanique ... et il est bon de réviser ses classiques ...

Posté par
lakere : Utiliser la méthode itérative d 20-03-21 à 19:02

Bonsoir carpediem,

Je vois que tu étais en embuscade ; je te laisse poursuivre ...

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 20-03-21 à 19:03

je n'ai pas compris ce que vous venez d'écrire carpediem....

Posté par
carpediemre : Utiliser la méthode itérative d 20-03-21 à 19:06

salut lake : tu peux poursuivre car je suis le rugby et prépare un corrigé de DM !!

je voulais juste poursuivre par rapport à ma première apparition et sur l'idée de Nunusse

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 21-03-21 à 14:49

Bonjour,
maintenant je dois étudier le sens de variation de la suite (Yn).
J'ai fait la différence de Yn+1 et Yn et j'ai
Yn+1-Yn=-0.2yn2+yn+0.8-yn=-0.2yn2+0.8
Mais cela me semble un peu bizarre non ?
Merci d'avance pour votre réponse

Posté par
carpediemre : Utiliser la méthode itérative d 21-03-21 à 15:47

pourquoi calcules-tu cette différence ?

donc on ne se pose pas la question de bizarreté ou pas mais on factorise ...

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 21-03-21 à 16:16

je ne comprends pas pourquoi je dois factoriser
pour avoir les variations d'une suite je regarde le signe de la différence de yn+1 et yn non ?

Posté par
carpediemre : Utiliser la méthode itérative d 21-03-21 à 16:33

Nunusse @ 21-03-2021 à 16:16

je ne comprends pas pourquoi je dois factoriser
pour avoir les variations d'une suite je regarde le signe de la différence de yn+1 et yn non ?


et comment fait-on pour étudier le signe d'une expression ?

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 23-03-21 à 11:08

oui factoriser regarder lorsque ça fait zero, étudier le signe de chaque produit etc mais la c'est une signe, ssinon si je factorise, j'ai:
yn+1-y[sub]n[/sub]=-0.2yn2+yn+0.8-yn
=yn(-0.2yn+1+0.8/yn-1)
=yn(-0.2yn+0.8/yn)
mais je ne sais toujours pas comment avoir le signe

Posté par
carpediemre : Utiliser la méthode itérative d 23-03-21 à 19:06

quoi !!!

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 24-03-21 à 16:13

oui je suis désolée, je n'avais pas compris. J'ai fait:
yn+1-yn=-0.2yn2+0.8-yn=-0.2yn2+0.8=0.2(-yn2+4)

or 0yn20yn24
donc yn+1-yn0

par conséquent, (yn) est croissante.

J'ai réussi à faire la suite des questions exceptée la dernière:

Partie B: étude d'une fonction
g est la fonction définie sur [0;+[ par:
g(x)=2((e4x-1)/(e4x+1))

Cg est la courbe représentative de g.

1. Montrer que g est solution de l'equa diff (E) et vérifie g(0)=0

J'ai donc comparé la dérivée de g avec 4-g2(x) qui étaient égaux et vérifié que g(0)=0.


2. a) Montrer que Cg admet une asymptote dont on donnera une équation.

J'ai fait les limites de g en 0+ et en + et en déduit que Cg admettait une asymptote horizontale d'équation y=2 en +

b) Etudier les variations dee g sur [0;+[

J'ai étudié le signe de la dérivée pour en déduire ses variations: g est croissante.

3. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de et de la tangente à Cg à l'origine du repère.

C'est cette question qui pose problème.
Je sais que l'équation de est y=2

J'ai aussi trouvé l'équation de la tangente au point d'abscisse zéro qui est y=4x

Cependant pour le point d'intersection j'ai un peu plus de mal. Je pense que je devrais cherché les équations paramétriques de ces deux droites après avoir chercher des vecteurs directeurs, ce que je pense pouvoir faire pour la tangente mais pour j'ai un peu plus de mal.

Posté par
carpediemre : Utiliser la méthode itérative d 24-03-21 à 16:27

Nunusse @ 24-03-2021 à 16:13

oui je suis désolée, je n'avais pas compris. J'ai fait:
yn+1-yn=-0.2yn2+0.8-yn=-0.2yn2+0.8=0.2(-yn2+4)

franchement quand je vois -y^2 + 4 je vois (2 - y)(2 + y)

et vu que 0 < y < 2 le deuxième facteur est trivialement positif ...

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 24-03-21 à 16:29

mais ce que j'ai mis va aussi non ?

Posté par
carpediemre : Utiliser la méthode itérative d 24-03-21 à 16:36

quand on factorise on factorise !!!

mais c'est bon ...

Posté par
Nunussere : Utiliser la méthode itérative d 24-03-21 à 16:39

ça marche merci, sinon pour la dernière question, vous pouvez un petit peu m'aider svp ?


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