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Valeur approchée

Posté par
Samsco
28-12-20 à 17:43

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice :

Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle que : f(0)=0 et \forall x \in \mathbb{R}~,f'(x)=\dfrac{1}{x²+1} .

On note (C) sa courbe représentative dans un plan muni du repère (O , I , J).

1- a) Prouver que :

\forall x \in [0 ; 1]~,\dfrac{1}{2} \leq f'(x) \leq 1

1-b) En utilisant l'inégalité des accroissement finis , prouver que  \dfrac{1}{2} \leq f(1) \leq 1

1-c) En déduire une valeur approchée de f(1) et la précision correspondante .

2) Utiliser l'inégalité des accroissement finis sur [0 ;1/2] et sur [1/2 ; 1] , pour donner une valeur approchée de f(1) et la précision correspondante.

Réponses :

1-a)

0 ≤ x ≤ 1
=> 0 ≤  x² ≤ 1
=> 1 ≤ x²+1 ≤ 2

=>  1/2 ≤ 1/(x²+1) ≤ 1

=> 1/2 ≤ f'(x) ≤ 1

1-b) D'après l'inégalité des accroissement finis sur [0 ;1]

1/2(1-0) ≤ f(1)-f(0) ≤ 1(1-0)

=> 1/2 ≤ f(1) ≤ 1

1-c) Une valeur approchée de f(1) est (0,5+1)/2=0,75 à (1-0,5)/2=0,24 près.

2)

_D'après l'inégalité des accroissement finis sur [0 ;1/2] ,

1/2(1/2-0) ≤ f(1/2)- f(0) ≤ 1(1/2-0)
=> 1/4 ≤ f(1/2) ≤ 1/2

_ D'après l'inégalité des accroissement finis sur [1/2 ; 1]

1/4 ≤ f(1)-f(1/2) ≤ 1/2

Je ne vois pas comment trouver une autre valeur approchée de f(1)

Posté par
verdurin
re : Valeur approchée 28-12-20 à 18:53

Bonsoir,
pour la question 2) on peut additionner les inégalités.

Avec celles que tu as données on ne trouve rien de nouveau, mais on peut avoir un résultat un peu plus précis un encadrant la dérivé sur l'intervalle [0 ;1/2]  puis sur l'intervalle [1/2;1].
Par exemple sur l'intervalle [1/2;1] tu peux montrer que \frac45\leqslant f'(x)\leqslant \frac12.

Il suffit de faire la même chose sur [0;1/2] et de rassembler les deux inégalités obtenues en les additionnant.

Posté par
Samsco
re : Valeur approchée 28-12-20 à 19:19

D'accord

Sur [0 ; 1/2]

4/5 ≤ f'(x) ≤ 1

D'après l'inégalité des accroissement finis sur [0 ; 1/2]

2/5 ≤ f(1/2) ≤ 1/2  (1)

Sur [1/2 ; 1]

1/2 ≤ f'(x) ≤ 4/5

D'après l'inégalité des accroissement finis sur [1/2 ; 1]

1/4 ≤ f(1)-f(1/2) ≤ 2/5  (2)

(1)+(2) : 13/20 ≤ f(1) ≤ 9/10

Une autre veleur approchée de f(1) est 0,775 à 0,125 près[rouge][/rouge]

Posté par
Samsco
re : Valeur approchée 28-12-20 à 19:22

verdurin @ 28-12-2020 à 18:53

Par exemple sur l'intervalle [1/2;1] tu peux montrer que \frac45\leqslant f'(x)\leqslant \frac12.


Je suppose que vous vouliez écrire plutôt 1/2 ≤ f'(x) ≤ 4/5

Posté par
verdurin
re : Valeur approchée 28-12-20 à 19:25


Oui, bien sur.
J'espère que tu m'excuseras pour cette erreur grossière.

Posté par
Samsco
re : Valeur approchée 28-12-20 à 19:42

Tout le monde fait des erreurs !

Merci de votre aide.



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