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valeur propre
j'ai M= a c.x^3 b.x^3
b a c.x^3
c b a
détM= (a+bx+cx²)(a+bjx+cj²x²)(a+bj²x+cjx²)
j est la racine cubique de l'unité dont un argument est 2Pi/3
Je dois montrer que y est valeur propre de M si et seulement si dét(M-y.I3)=0. De plus, je dois déterminer les valeurs de M.
Dans l'énoncé, je sais que y est une valeur propre de M si MX=yX avec x une matrice colonne.
Merci d'avance car je ne sais du tout comment commencer...
Bonjour
y est une valeur propre ssi (M-yI3)X = 0 a d'autres solutions que X = . tu dois savoir relier ça au déterminant ?
Je sais que je dois utiliser le déterminant
Mais est ce que je pars de "Dans l'énoncé, je sais que y est une valeur propre de M si MX=yX avec x une matrice colonne." ou de dét(M-y.I3)=0?
Bonjour.
a est valeur propre de M
<=> il existe X non nul tel que MX = aX
<=> il existe X non nul tel que MX - aX = O
<=> il existe X non nul tel que (M - aI)X = O
A plus RR.
j'ai dét(MX- aX)=0
je dois prouver que a est la valeur propre de M (X=matrice colonne).
dét(MX-aX)=0 => dét(MX)=dét(aX)
est ce que l'inclusion précédente est vraie?
Une remarque préliminaire : "dét(MX-aX)=0 => dét(MX)=dét(aX)" est faux car det n'est pas linéaire.
J'ai procédé par équivalence, donc inutile de faire une réciproque.
Si tu veux tout de même la rédiger, voila ce que je te propose.
det(M - aI) = 0
=> M - aI non inversible
=> Ker(M - aI) non réduit à {O}
=> il existe X non nul tel que (M - aI)X = O
=> il existe X non nul tel que MX = aX
A plus RR.
je te rmercie raymond
est ce que c'est une méthode courante (on l'utilise dans des problèmes similaires) ou est ce qu'elle est particulière à cet exercice?
L'équivalence :
a valeur propre de M <=> il existe X 
O, MX = aX <=> det(M - aI) = 0
est absolument fondamentale. Tu te serviras de ce résultat pour trouver les valeurs propres de M. En effet, en développant det(M -aI), tu trouves un polynôme de degré n de la variable a : PM(a).
L'équation det(M - aI) = 0 s'écrit alors PM(a) = 0.
PM(a) s'appelle le polynôme caractétistique de M et ses racines sont donc les valeurs propres de M.
A plus RR.
Je dois trouver les valeurs propres d'une autre matrice.
Est ce que l'on peut dire que x valeur propre de U si et seulement si dét(U-x.I3)=0? sur le même modèle que M
On dit que j est la racine cubique de l'unité dont un argument est 2*Pi/3.
j^3=1
Comment puis je noter j et j²?
Merci d'avance
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