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valeur propre

Posté par
salma25 19-12-11 à 21:14

Bonsoir ,

j'ai un gros problème avec les valeurs propres d'une matrice ,j'ai beau cherché des cours et des exercices mais à chaque fois je trouve pas les bonnes valeurs

voilà je propose un exercice que j'ai trouvé sur un site ,on nous demande de trouver les valeurs propres  d'une matrice A telle que : A = \large A\ =\ \left( \begin{array}{c|ccc} & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1&a_{0}&a_{2}&a_{-1}\\2&a_{3}&a_{-2}&a_{0}\\ 3&a_{-2}&a_{2}&a_{1} \end{array} \right)

voilà ce que j'ai fait : je calcule A-XI et là j'essais de calculer le determinant en diagonalisant mais j'arrive jamais au bon résultat...Bref je me bloque complétement et je ne sais plus quoi faire

voilà je m'adresse à vous pour m'aider là-dessus,et merci .

Posté par
salma25re : valeur propre 19-12-11 à 21:23

je suis désolée pour l'écriture de la matrice  alors A = (0  2  -1 )
                                                          3  -2  0
                                                         -2   2  1

Posté par
DHilbertre : valeur propre 19-12-11 à 21:35

Assez rapidement, le déterminant en question est une application multilinéaire de sorte que les calculs peuvent se simplifier.

A +

Posté par
DHilbertre : valeur propre 19-12-11 à 21:52

Sauf erreur de ma part, je trouve \mathrm{det}(A-XI)=(1-X)(X-(1+\sqrt{5}))(X-(1-\sqrt{5})).

A +

Posté par
salma25re : valeur propre 19-12-11 à 21:53

je craint de n'avoir pas bien saisi ce que vous vouliez dire

Posté par
DHilbertre : valeur propre 19-12-11 à 21:58

Désolé : \mathrm{det}(A-XI)=(1-X)(X+(1-\sqrt{5}))(X+(1+\sqrt{5})).

Que ne comprends-tu pas ?

A +

Posté par
salma25re : valeur propre 19-12-11 à 22:04

comment tu as fait pour trouver le det(A-XI)

merci.

Posté par
sabagare : valeur propre 19-12-11 à 22:21


  j'ai trouvé après les calcules:

\[\begin{array}{c} \\ \det \left( {A - \lambda {I_3}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \\ { - \lambda }&2&{ - 1}\\ \\ 3&{ - 2 - \lambda }&0\\ \\ { - 2}&2&{1 - \lambda } \\ \end{array}} \right|\\ \\ \det \left( {A - \lambda {I_3}} \right) =  - \left( {6 - 4 - 2\lambda } \right) + \left( {1 - \lambda } \right)\left( {\lambda \left( {2 + \lambda } \right) - 6} \right)\\ \\ \det \left( {A - \lambda {I_3}} \right) =  - \left( {2 - 2\lambda } \right) + \left( {1 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} + 2\lambda  - 6} \right)\\ \\ \det \left( {A - \lambda {I_3}} \right) = \left( {1 - \lambda } \right)\left( { - 2 - 6 + {\lambda ^2} + 2\lambda } \right)\\ \\ \det \left( {A - \lambda {I_3}} \right) = \left( {1 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} + 2\lambda  - 8} \right)\\ \\ \det \left( {A - \lambda {I_3}} \right) = \left( {1 - \lambda } \right)\left( {\lambda  + 4} \right)\left( {\lambda  - 2} \right) \\ \end{array}\]

Posté par
sabagare : valeur propre 19-12-11 à 22:23

donc les valeurs propre de Matrice A
sont:
\[\left\{ {1;2; - 4} \right\}\]

Posté par
salma25re : valeur propre 19-12-11 à 22:34

Merci beaucoup sabaga c'était bien clair .

s'il vous plait une question : sur d'autres exercices du même type avec des matrices de taille 3 ou 4 ou des fois de taille 5 ils cherchent à diagonaliser ! faut-il toujours diagonaliser pour calculer le polynome caractéristique  ??

merci encore une fois

Posté par
veledare : valeur propre 19-12-11 à 22:48

bonsoir
>>DHilbert
je suis d'accord pour X=1 sinon je trouve 2 et -4

Posté par
veledare : valeur propre 19-12-11 à 22:54

mais j'arrive un peu tard
>>Sabaga si tu ajoutes les colonnes 2 et 3 à la première colonne tu as immédiatement (1-X) en facteur

Posté par
numero10re : valeur propre 19-12-11 à 22:57

Salut,

Oui, pour vérifier les calculs il est utile de regarder ce que vaut la trace de la matrice et la somme des valeurs propres.

Posté par
salma25re : valeur propre 19-12-11 à 23:03

pour des matrices de taille supérieur à 3,faut-il diagonaliser pour trouver ces valeurs propres ?

Posté par
veledare : valeur propre 19-12-11 à 23:04

>>numero 10
avec deux valeurs propres inexactes si je ne me trompe pas DHilbert a quand même -1 pour
somme de ses valeurs propres donc somme des valeurs propres =la trace>qu'elles sont exactes

Posté par
salma25re : valeur propre 19-12-11 à 23:05

JE REFORMULE : pour le cas des matrices de taille supérieur à 3 ,faut-il diagonaliser ces matrices pour trouver leurs valeurs propres ?

Posté par
numero10re : valeur propre 19-12-11 à 23:12

Je sais Veleda que la réciproque est fausse.

Et justement, si j'ai dit ça c'est parce qu'il me semble que justement sa somme des valeurs propres =/=la trace.

Posté par
numero10re : valeur propre 19-12-11 à 23:13

Salma25: Non pas forcément tu procèdes de la même façon qu'avec des matrice 2*2 ou 3*3.

Posté par
salma25re : valeur propre 19-12-11 à 23:20

s'il vous plait une dernière question est-ce que pour chaque valeur propre on associe un UNIQUE vecteur propre ?

Posté par
veledare : valeur propre 19-12-11 à 23:29

>>numero10,c'est le produit de ses valeurs propres qui n'est pas égal au déterminant de la matrice mais pour la somme cela coïncide avec la trace

Posté par
numero10re : valeur propre 19-12-11 à 23:35

Salma25: La réponse à ta question est non. Tu devrais regarder un cours sur le sujet. Et en réfléchissant je suis sûr que tu peux répondre par toi même à cette question.


Veleda: C'est que je ne sais plus calculer une somme ou reconnaitre les racines d'un polynôme alors.

Posté par
numero10re : valeur propre 19-12-11 à 23:40

En fait veleda, on a tous les deux raison. C'est juste que toi tu regardes sans doute son premier message et moi sa correction je suppose?

Posté par
veledare : valeur propre 20-12-11 à 06:59

>>numero 10
oui on ne parlait pas du même polynôme


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