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Valeur propre et ker
Bonjour à tous!
Dans un petit exercice d'algèbre que je suis en train de faire, une question me résiste.
Laissez-moi vous exposer rapidement l'énoncé:
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On considère trois endomorphismes de E, notées f, g et h tels que :
hf-f
h=2f
hg-g
h=-2g
fg-g
f=h
où le symbole représente le rond de la composition.
On suppose de plus que si F est un sous-espace vectoriel de E qui est stable
à la fois par f, g et h, alors F = {0} ou F = E.
Soit 
une valeur propre de h.
1. Soit x un vecteur propre de h associé à la valeur propre . Montrer que : h(f(x))=(+2)f(x)
2. Montrer qu'il existe un vecteur non-nul x0 et un réel 0tels que
h(x0) = 0x0
et f(x0) = 0
La première question est très simple, c'est la seconde qui me pose problème :/.
Des idées?
Je vous remercie pour votre aide et vous souhaite un très bon après-midi,
Wacker.
bonjour
1) (hof-foh)(x)=2f(x) donc h(f(x))-f(lx)=2f(x) donc h(f(x))-lf(x)=2f(x) donc h(f(x))=(l+2)f(x)
2) poses lo=l+2 et xo=f(xo) alors h(xo)=loxo et
xo=f(x) apprtient au sev Fx engendré par le vecteur propre x Fx est stable par h
2f(xo)=h(f(xo))-f(h(xo))=h(f(f(x)))-f(h(f(x)))=f(h(f(x)))+2f(h(x))-f(h(f(x)))
=2f(h(x))
=2f(lx)
=2lf(x)
donc
f(xo)=lxo donc xo est vecteur propre de f associé à la valeur propre l
Bonjour Watik,
Tout d'abord, merci pour ta réponse.
J'ai essayé de suivre ton raisonnement dans la question 2, mais il me semble que tu ne réponds pas à la question.
On veut prouver qu'il existe un non nul qui est un vecteur propre pour h (associé à la valeur propre
0) et qui appartient au noyau de f.
Or, tu poses (pourquoi existerait-il un
vérifiant cette relation?) et tu aboutis à
vecteur propre de
(ce qui est déjà supposé vrai puisque tu poses
) associé à la valeur propre
(plutôt 1 d'après ce que tu poses, non?).
Je n'y comprends plus rien et je ne vois pas en quoi tu réponds à la question :/.
Des éclaircissements?
Merci beaucoup 
.
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