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valeur propre et matrice

Posté par Sinika (invité) 21-03-07 à 18:08

Bonsoir à tous !

J'aurai besoin de votre aide...

J'ai une matrice Mq, de dimension n*n, qui est tridiagonale avec 2+q sur la diagonale, -1 sur la diagonale supérieure et -1 sur la diagonale inférieure.
On a q>0.
Il faut montrer que L qui est valeur propre de Mq et supérieur ou égal à q.

Merci de votre aide !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : valeur propre et matrice. 21-03-07 à 20:28

Bonsoir Sinika ;
juste une idée :
Ta matrice s'écrit aussi 2$\fbox{M_q=A+qI_n} avec 2$\fbox{A=\(\begin{tabular}{cccccc}2&-1&.&.&.&.&\\-1&2&-1&.&.&.&\\.&-1&2&-1&.&.&\\\\\\\\\\.&.&.&.&.&.&\\\\\\.&.&.&-1&2&-1&\\.&.&.&.&-1&2&\\\end{tabular}\)} et I_n la matrice unité de M_n(\mathbb{R}).
La matrice A étant symétrique (à coefficients réels) toutes ses valeurs propres sont réelles si tu parviens à prouver qu'elle est en plus positive ses valeurs propres seront positives et celles de M_q seront supérieures ou égales à q (sauf erreur)

Posté par
raymond Correcteurvaleur propre et matrice 21-03-07 à 21:59

Bonsoir Sinika et elhor_abdelali.

Le sujet proposé a-t-il été donné sèchement ou bien est-il précédé de questions antérieures ?
En particulier la méthode de décomposition LU, ou l'étude de la forme quadratique associée à Mq font-elles partie de l'énoncé ?

A plus RR.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : valeur propre et matrice. 22-03-07 à 00:57

Bonsoir ;
raymond > je ne sais pas si l'exercice proposé par Sinika comporte d'autres questions.
La positivité de la matrice A est à mon avis inévitable reste à trouver le moyen le plus simple de le prouver :
-signe de la forme quadratique associée à A,
-racines de son polynôme caractéristique
-factorisation de A ....
je cherche encore (sauf erreur bien entendu)

Posté par
raymond Correcteurre : valeur propre et matrice. 22-03-07 à 12:11

Bonjour elhor_abdelali. (Au fait, peut-on dire seulement elhor ?)

J'ai essayé également :
1°) la résolution du système (A - \lambda.I_n)X = 0, dans lequel l'introduction de la somme s = \Bigsum_{i=1}^{n}x_i donne quelques résultats, mais assez calculatoires.
2°) la décomposition par la méthode de Gauss de la forme quadratique associée à Mq, avec tentative de récurrence sur n.
Dans les deux cas, je me suis arrété avant d'avoir trouvé un résultat tangible, ayant en tête la présence éventuelle de questions préliminaires.

A plus RR.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : valeur propre et matrice. 22-03-07 à 18:08

Oui , elhor c'est plus facile à écrire et à prononcer

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : valeur propre et matrice. 22-03-07 à 19:40

Allez j'opte pour le polynôme caractéristique !
En notant 2$\fbox{P_n=\det(XI_n-A)} il est assez facile de montrer la relation récurrente :
3$\fbox{P_n=(X-2)P_{n-1}-P_{n-2}\\P_0=1\hspace{5},\hspace{5}P_1=X-2} valable pour tout entier naturel n\ge2 ( je conviens que P_0=1 et je crois que ça marche )
on sait que les P_n sont unitaires de degré n et scindés sur \mathbb{R} et il s'agit de prouver que leurs racines sont positives
(autrement dit qu'ils ne s'annulent pas sur ]-\infty,0[).
Fixons alors un réel \fbox{t<0}
et considérons la suite numérique 2$\fbox{(a_n=P_n(t))_{n\ge0}} il est alors clair que 4$\fbox{a_0=1\hspace{5},\hspace{5}a_1=t-2\\(\forall n\ge2)\hspace{5}a_n=(t-2)a_{n-1}-a_{n-2}}
l'équation caractéristique étant 2$\red\fbox{r^2-(t-2)r+1=0} de discriminant 2$\blue\fbox{\Delta=(t-2)^2-4=t(t-4)>0} on déduit assez facilement que:
4$\fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\hspace{5},\hspace{5}a_n=\frac{r_1^{n+1}-r_2^{n+1}}{\sqrt{\Delta}}\\r_1=\frac{(t-2)+\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{1}{r_2}} et puis que 3$\blue\fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\hspace{5},\hspace{5}a_n\neq0} (sauf erreur bien entendu)

Posté par Bluberry (invité)re : valeur propre et matrice 22-03-07 à 20:47


Bonsoir,

idées excellentes!
Elhor, si tu as une idée (ne serait-ce qu'une) pour le problème suivant, ça m'interresserait :


Soit P une polynôme de R[X] de degré n n'ayant que des racines simple (pas forcément réelles) :

Il s'agit de prouver que P^2 + 1 n'a égalemnt que des racines simples.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : valeur propre et matrice. 22-03-07 à 23:00

Bonsoir Bluberry ;
J'y réfléchis

Posté par
raymond Correcteurre : valeur propre et matrice. 23-03-07 à 00:30

Bonsoir.

Elhor : ta construction du polynôme caractéristique par les suites linéaires d'ordre 2 est très intéressante.
Je viens de repenser également au théorème de localisation des valeurs propres de Gershgorin-Hadamard.

Théorème de Gersgorine-Hadamard.

Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans C, A = [aij]. On pose :
a) 2$\textrm r_i =\Bigsum_{j\neq{i},j=1}^{n}|a_{ij}| (somme des modules des coordonnées des vecteurs colonnes excepté le terme diagonal),
b) 2$\textrm D_i = \{z\in{\mathbb{C}, |z - a_{ii}| \le \ r_i\}
Alors, le spectre de A est inclus dans la réunion de ces disques fermés Di

Conséquence ici pour la matrice A introduite par elhor dans son premier topic :
deux types de disques : D de centre 2, de rayon 1 et D' de centre 2, de rayon 2.
Comme A est symétrique réelle son spectre est inclus dans R et par le théorème il est inclus dans l'intervalle [0,2].
Ceci montre que le spectre de Mq est inclus dans l'intervalle [q,q+2].

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteurre : valeur propre et matrice. 23-03-07 à 00:55

Une erreur dans mon précédent topic.
Il faut lire : ri = somme des modules des coordonnées du vecteur ligne n°i, excepté le terme diagonal.
Désolé. (Heureusement, c'est sans conséquence pour la suite du topic).
A plus RR.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : valeur propre et matrice. 23-03-07 à 11:15

Oui bravo raymond ce théorème (qui se montre d'ailleurs facilement) permet de conclure
Effectivement si \fbox{\lambda} est valeur propre de \fbox{A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})} et \fbox{X=\(x_1\\.\\.\\x_n\)} un vecteur propre avec \fbox{\max_{1\le j\le n}|x_j|=|x_i|>0}
on a en développant la i-ème ligne du système \fbox{AX=\lambda.X}:
\fbox{\Bigsum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=\lambda x_i} qui s'écrit aussi \fbox{(\lambda-a_{ii})x_i=\Bigsum_{j=1\\j\neq i}^{n}a_{ij}x_j} et donc 2$\blue\fbox{|\lambda-a_{ii}|\le\Bigsum_{j=1\\j\neq i}^{n}|a_{ij}|\frac{|x_j|}{|x_i|}\le\Bigsum_{j=1\\j\neq i}^{n}|a_{ij}|}
ce qui prouve que 3$\red\fbox{Spectre(A)\subset\Bigcup_{i=1}^{n}\bar{D(a_{ii},\Bigsum_{j=1\\j\neq i}^{n}|a_{ij}|)}}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : valeur propre et matrice. 23-03-07 à 11:24

Si je ne me trompe je dirais même que les valeurs propres de M_q sont toutes strictement supérieures à q

Posté par
raymond Correcteurre : valeur propre et matrice. 23-03-07 à 12:24

Bonjour.

Dans ce cas effectivement, 0 n'est pas valeur propre de A, comme le montre la résolution (assez facile) de l'équation AX = 0.
Par contre, dans le cas général, certaines valeur propres sont bien sur la frontière. Un exemple élémentaire :
Soit J la matrice d'ordre n dont tous les termes sont égaux à 1. On a Sp(J) = {0,n}, et les disques du théorème sont tous égaux à D(1,n-1]. La valeur propre n est bien sur la frontière.

Toujours pas de nouvelle de Sinika ?

A plus RR.

Posté par
Roulianere : valeur propre et matrice 23-03-07 à 13:32


Citation :

Soit P une polynôme de R[X] de degré n n'ayant que des racines simple (pas forcément réelles) :

Il s'agit de prouver que P^2 + 1 n'a égalemnt que des racines simples.


Je me permet de tenter d'y répondre.

On va raisonner par l'absurde : soit Q(x)=P²(x)+1.
Supposons que Q admet une racine multiple( notée a ). Alors en particulier, on a \fbox{Q(a)=Q'(a)=0} . Or Q'(x)=2P(x). On a donc \fbox{P(a)=0} c'est à dire que a est racine multiple de P. Or P n'a que des racines simples donc c'est absurde.

Mais je garantie rien

Posté par
Roulianere : valeur propre et matrice 23-03-07 à 13:33

oubliez ma démo je suis pas réveillé sur les dérivées

Posté par
Cauchyre : valeur propre et matrice 23-03-07 à 13:53

Salut,

Rouliane:

Un '' défi ''


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