personne pour m'aider donc?

On peut remarquer d'abord que ton application est bien linéaire par unicité du reste. P est vecteur propre pour la valeur propre ssi Q=P.(X³-)=0 mod (X-a)(X-b)(X-c), i.e. Q(a)=Q(b)=Q(c)=0.

Comme P est de degré < 3, est nécessairement égal à a³, b³, ou c³ (car pour P non nul on n'a pas a,b,c racines de P et deg P<3).

Conclusion: les valeurs propres sont a³, b³, et c³. Si ces trois valeurs propres sont distinctes, les vecteurs propres correspondant sont: (x-b)(x-c) pour a³, (x-a)(x-c) pour ... etc.

Si maintenant a³ = b³, et c³ distinct (par symétrie on traite tous les cas où deux cubes exactement sont égaux), il y a plusieurs vecteurs propres pour a³, qui sont en fait les multiples (au sens polynomial) de (x-c) (sev de dim 2 dans K₂[X]). Le vecteur propre pour c³ est toujours (x-a)(x-b).

Enfin si les trois cubes sont égaux, on constate que f est une homothétie de rapport ce cube et que tous les vecteurs non-nuls sont propres.

Remarque: Dans la base (x-b)(x-c),(x-a)(x-c),(x-a)(x-b), f s'écrit comme une matrice diagonale dont la diagonale est a³,b³,c³. Cela répond directement à la question mais c'est un peu artificiel.