Bonjour,

"k est valeur propre de A" signifie (par définition) : "il existe un vecteur x non nul tel que Ax=k.x"
                                                                   i.e. : "(A-k.I)x=0"
                                                                   i.e. : "la matrice A-k.I n'est pas inversible"
                                                                   i.e. : "det(A-k.I)=0"
Donc tu calcules la matrice A-k.I, puis son déterminant, et tu résous det(A-k.I)=0 : les k solutions de cette équation sont le valeurs propres de A.

Merci de votre réponse.

J'ai trouvé comme valeur propre : -3;1;1  , pouvez-vous me dire si c'est exacte ?

Merci d'avance.

Voici la réponse que j'ai trouvé pour la base et la dimension des sous-espace.

Soit B=(e1;e2;e3) la base canonique de A et u=(1,0,0) ; v=(1,0,-1) ; w=(1,-1,0)

Si e1,e2 et e3 sont la base canonique alors e1=(1,0,0) ; e2=(0,1,0) ; e3=(0,0,1)

Pouvez-vous me dire si c'est bon.

Merci,
Pardit.

Je trouve -1 (de multiplicité 1) et 1 (multiplicité 2) pour les valeurs propres (i.e. j'ai -1 là où tu as -3).

Pour ton deuxième message, est-ce que tu as l'impression d'avoir répondu à la question posée ... ?
Qu'est-ce qu'un sous-espace propre, pour commencer ?

Je vais faire la réponse à ma question :

Le sous-espace propre associé à la valeur propre -1, c'est l'ensemble de tous les "vecteurs propres" pour cette valeur propre (il forme un sous-espace vectoriel de R^3, d'où l'appellation "sous-espace propre"),
i.e. c'est l'ensemble des vecteurs (x,y,z) tels que A*(x,y,z)=(-1)*(x,y,z)=(-x,-y,-z).

Pour le trouver tu dois donc résoudre A*(x,y,z)=(-x,-y,-z). Tu trouves un système d'équations en x,y et z que tu simplifies au max.
À partir de là tu pourras trouver une base, donc la dimension, de cet espace propre.

Pareil pour la valeur propre 1.