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valeurs propres-vecteurs propres
Bonjour à tous,
Je suis en train de faire un exercice et je pense m'être trompée mais je n'arrête pas de revoir mes calculs je ne trouve pas mon erreur.
Soit f endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est
A=
-8 -3 -3 1
6 3 2 -1
26 7 10 -2
0 0 0 2
a/démontrer que 1 et 2 sont des valeurs propres de f.
j'ai commencé par calculer det(A-
I). J'obtiens (-2)(-3+52-8+4)
Avec 1 comme racine évidente j'obtiens finalement det=(-2)3(-1)
Donc 2 valeur propre à l'ordre 3 et 1 à l'ordre 1.
b/Déterminer les vecteurs propres de f.
J'ai donc cherché l'espace propre associé pour la valeur propre 2. J'ai résolu le système (pour un vecteur (x,y,z,t)
Ker(A-2I) )
-10x-3y-3z+t=0
6x+y+2z-t=0
26x+7y+8z-2t=0
J'obtiens Vect{(-3,2,8,0)} et cela me parait bizarre car c'est de dim1 et j'aurais préféré obtenir un espace propre de dimension 3 car la question e/ est de dire si A est diagonalisable ou non. Et si la dim est de 1 je peux déjà dire que A n'est pas diagonalisble vu que la dim de l'espace propre associé à =2 n'est pas égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre.
J'ai donc du me tromper..
pour =1 j'obtiens Vect{(-2,1,5,0)} ce qui me parait à peu près normal.
c/soit u un vecteur propre de f pour la valeur propre 2. Trouver des vecteurs v et w tels que f(v)=2v+u et f(w)=2w+v
Je ne sais pas trop comment faire car je ne connais rien sur l'application f.
J'ai voulu m'aider du fait que f(u)=2u mais ca ne m'éclaircit pas beaucoup plus.
Merci de me corriger pour la question b/ et de me mettre sur la voix pour la question c/ si cela ne vous derange pas trop.
Merci d'avance
Pauline
Bonjour, pauppau.
Les réponses que tu donnes à la question b) sont exactes.
Il est exact que A n'est pas diagonalisable et que tu peux le déduire directement de la question b.
Pour la question c, tu connais u=(-3,2,8,0), tu poses v=(x,y,z,t) et en résolvant f(v)=2v+u, tu obtiens un système de 4 équations à 4 inconnues...
Même principe ensuite pour trouver w.
Hello,
Effectivement, A n'est pas diagonalisable. Pour le reste, suis les indications de perroquet 
Une remarque en passant :
car je ne connais rien sur l'application f.
Tu connais sa matrice dans la base canonique, donc au contraire tu connais tout sur f
... du moins, tout ce qu'il faut savoir pour cet exo.
Critou
Merci de m'avoir répondu si vite..
Par contre je ne sais pas trop quoi faire avec f(x,y,z,t)
Je pense que je dois faire quelque chose par rapport à la matrice A.
J'ai noté f(e1)=-8e1+6e2+26e3
f(e2)=-3e1+3e2=7e3
etc
et j'ai également noté que
f(x)=2x-3
f(y)=2y+2
etc mais je ne sais pas si j'ai vraiment le droit de séparer le f(x,y,z,t)
et je n'arrive pas à avancer plus..
f(x,y,z,t)=(-8x-3y-3z+t,6x+3y+2z-t,26x+7y+10z-2t,2t)
On doit donc résoudre:
(-8x-3y-3z+t,6x+3y+2z-t,26x+7y+10z-2t,2t)=2(x,y,z,t)+(-3,2,8,0)
donc:
-10x-3y-3z+t=-3
6x+y+2z-t=2
26x+7y+8z-2t=8
Une solution de ce système est (6,-4,-15,0)
(je ne l'ai pas obtenue en résolvant le système, mais par une autre méthode, que tu ne peux pas utiliser)
Ah oui..
Dommage pour la méthode que je ne peux pas utiliser elle a l'air pratique. Il ne me reste plus qu'à tout résoudre.
Merci beaucoup
Pauline
bonsoir lolo 217(et voisin)
je ne sais pas mais ce n'est pas moi(c'est en L2 du reste)j'ai simplement vu passer le texte de ce dm
et comme j'aime bien l'algèbre j'ai fait les 3 exos ( classiques)et j'ai été étonnée de les retrouver hier et aujourd'hui sur l'île
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