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Varaible aléatoire

Posté par
coatch
14-12-17 à 19:29

Bonsoir voici un DM que j'ai à faire pouvez-vous m'aider :

Une personne fortement alcoolisée quitte ses amis à la sortie d'un restaurant (R). Elle décide de prendre le bus pour rentrer et  l'arrêt de bus (B) est situé en face d'elle. A cause de son état, elle se dirige en direction de cet arrêt de manière aléatoire, en diagonale vers la gauche ou vers la droite avec la même probabilité p  = \frac{1}{2}.
On suppose que la personne fait exactement vingt pas et que la distance parcourue à chaque pas est identique.

La figure ci-dessous illustre une marche de deux pas à gauche, puis un à droite, deux à gauche, cinq à droite, sept à gauche et enfin trois à droite, la personne n'atteint pas l'arrêt de bus.

Varaible aléatoire

Partie A :
On a programmé une telle marche, dite aléatoire, sur calculatrice :Varaible aléatoire

1) Expliquer comment est simulée cette marche aléatoire. En particulier, expliquer le rôle de la variable P.
2)Que représente la variable D? Quelles valeurs peut prendre cette variable ?
3)a) On suppose qu'une fois le programme exécuté, la variable D a la valeur 10. Interpréter ce résultat.
b) En déduire l'instruction à ajouter pour contrôler si la personne a rejoint exactement l'arrêt de bus.
4) Compléter le programme pour simuler un grand nombre de fois (100 fois par exemple) une telle marche aléatoire.
En déduire une estimation de la probabilité qu'à cette personne de rejoindre l'arrêt de bus.

Partie B :

1) On note X la variable aléatoire qui, à toutes marche aléatoire de 20 pas, associe le nombre de pas effectués à droite.
Justifier que cette variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n =20 et p = \frac{1}{2}.
2)Quelle est la probabilité que cette variable aléatoire prenne la valeur 10 ?
Interpréter ce résultat, puis vérifier la cohérence de ce dernier avec les simulations effectuées à la fin de la partie A.

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 14-12-17 à 19:30

Une erreur est survenue, les deux images se sont inversées Merci

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 14-12-17 à 19:39

Mes réponses :

1) Cette marche est simulée par un algorithme. Cet algorithme possède une boucle avec "For 1->J To 20" jusqu'à "IfEnd"
P est un nombre aléatoire vallant, à chaque tour, soit 0 ou soit 1.

2) D est le nombre de pas fait par la personne, cette variable peut prendre soit la valeur 1, soit la valeur 2 ... soit la valeur 20.

3)a) Si D=10 alors cela veut dire que la personne a déjà fait 10 pas dans une direction et donc elle lui reste 10 autres pas à faire dans une autre direction. Elle fait autant de pas dans une direction que dans l'autre.

B) Je ne sais pas ce qu'il faut mettre

4) Ici j'essaye de faire l'algorythme via algobox mais je ne sais pas comment le faire.
Merci

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 14-12-17 à 19:59

bonjour,

en effet, l'algorithme simule la marche ; P prend aléatoirement la valeur 0 ou 1, avec une proba de 1/2 ==> P sert à indiquer la direction.

quand P = 0, la direction sera à droite, sinon, ce sera à gauche.

2) D est le nombre de pas à droite .
sa valeur : de 0 à 20.

3) je te laisse réctifier ta réponse, sachant que D compte le nombre de pas à droite.

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 14-12-17 à 20:02

Bonsoir Leile,

La 3)b) est qu'elle sert à rectifier le graphique ?

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 14-12-17 à 20:06

Citation :
3)a) Si D=10 alors cela veut dire que la personne a déjà fait 10 pas dans une direction et donc elle lui reste 10 autres pas à faire dans une autre direction. Elle fait autant de pas dans une direction que dans l'autre.


3)a) Si D=10 alors cela veut dire que la personne a déjà fait 10 pas à droite et donc elle lui reste 10 autres pas à faire à gauche. C'est ça ?

Merci

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 14-12-17 à 20:21

pas tout a fait :
si D=10  à la fin de la marche , on a fait 10 pas à droite et 10 pas à gauche.
donc, on est où ? ??

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 15-12-17 à 08:21

Ok
Là je suis à la 3)b) mais je ne sais pas ce qu'il faut mettre .

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 15-12-17 à 10:09

tu ne réponds pas à ma question ...
Quand je te demande "on est où?", je parle du graphique...   Je ne demande pas "à quelle question en es-tu ?"

As tu essayé de faire un schéma ou tu fais 10 pas à droite et 10 pas à gauche ?

Quand tu fais le meme nombre de pas à droite et à gauche, tu arrives en B.

Tu ne dois pas te contenter de dire "je ne sais pas quoi mettre" en terminale ; il faut vraiment que tu essaies d'aller un peu plus loin.

Pour arriver en B,  il faut donc que D=10.

ainsi  en Q3b) il suffit de rajouter l'instruction
SI D=10    alors  
cela contrôle si on est arrivé en B.

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 15-12-17 à 19:29

Bonsoir Leile

pour la 3a)
Si la personne a fait 10 pas sur 20 dans une direction, elle a donc fait 10 dans l'autre. Donc , elle a fait autant de pas dans une direction que dans l'autre et elle arrive à rejoindre l'arrêt de bus

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 15-12-17 à 19:51


pour la 3)B

FONCTIONS_UTILISEES
VARIABLES
    D EST_DU_TYPE NOMBRE
   J EST_DU_TYPE NOMBRE
   P EST_DU_TYPE NOMBRE
   C EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
  D PREND_LA_VALEUR 0
POUR J ALLANT_DE 1 A 100
  DEBUT_POUR
D PREND_LA_VALEUR D + floor(2 * random())
FIN_POUR
SI ((D==0)) ALORS
DEBUT_SI
P PREND_LA_VALEUR P+1
FIN_SI
AFFICHER P
FIN_ALGORITHME

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 15-12-17 à 19:56

pour l'algo, je ne sais pas si c'est ça par contre

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 15-12-17 à 20:43

Bonsoir,

3a) : nous sommes d'accord.

3b )

J'avais fait un algo sur algobox hier qui fonctionnait, mais je ne l'ai plus..

as tu essayé le tien ? il me semble que ça ne doit pas marcher (tes boucles ne sont pas bonnes ).

b prend la valeur 0
Pour  I allant de 1 à 100  faire
             D prend la valeur 0
             pour J allant de 1 à 20
                              P prend la valeur algobox_ent_alea(0,1)
                              si P==0   alors
                                           D prend la valeur D+1    /* on compte les pas a droite */
                             fin si
              fin pour
              si D==10      alors  
                                   B prend la valeur B+1   /* on compte le nb de fois ou on atteint B  */
              fin si

fin pour

afficher "frequence d'atteinte de B : "  
afficher calcul B/100
fin algo

en bleu : on fait 20 pas et on regarde si on a atteint B.

je te laisse tester et corriger le cas échéant..
le resultat tourne autour de 17,6

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 14:40

1 FONCTIONS_UTILISEES
2 VARIABLES
3 D EST_DU_TYPE NOMBRE
4 J EST_DU_TYPE NOMBRE
5 P EST_DU_TYPE NOMBRE
6 B EST_DU_TYPE NOMBRE
7 I EST_DU_TYPE NOMBRE
8 DEBUT_ALGORITHME
9 B PREND_LA_VALEUR 0
10 POUR I ALLANT_DE 1 A 100
11 DEBUT_POUR
12 D PREND_LA_VALEUR 0
13 POUR J ALLANT_DE 1 A 20
14 DEBUT_POUR
15 P PREND_LA_VALEUR algobox_ent_aléa(0,1)
16 SI (P==0) ALORS
17 DEBUT_SI
18 D PREND_LA_VALEUR D+1
19 FIN_SI
20 FIN_POUR
21 FIN_POUR
22 SI (D==10) ALORS
23 DEBUT_SI
24 B PREND_LA_VALEUR B+1
25 FIN_SI
26 AFFICHER P
27 AFFICHERCALCUL B/100
28 FIN_ALGORITHME

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 14:41

Je pense qu'il y a une erreur cela ne fonctionne pas



j'ai un peu de mal avec algobox désolée

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 14:58

PARTIE B

1) On note X la variable aléatoire quia toute marche, aléatoire de 20 pas , associe le nbre de pas effectués à droite
On a une expérience aléatoire à 2 issues répétées 20 fois

succès : faire un pas à droite de probabilité  p = 1/2

Echec : faire un pas àgauche de probabilité  1-p = 1/2

X suit donclalo binominale de paramètres n = 20 et p = 1/2

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 15:01

2) P(X = k) =(n)  * (p) puissance k   *(1-p) puissance  n -k
                          (k)



P(X= 10) = (20)  *(1/2) puissance 10 * (1/2) puissance 10
                         (10)

= 46189/262144 = environ 0.17620


Pour pouvoir dire le résultat est cohérent il faut que je trouve l'algobox

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 15:11

ton algorithme ne fonctionne pas car le "fin pour " en ligne 21 est mal placé.
dans mon post, les deux 'fin pour' ne se suivent pas...
déplace cette ligne 21, mets la entre la 25 et la 26

tu me dis "ca ne fonctionne pas", mais qu'est ce qui ne marche pas au juste ?

erreur de syntaxe ou réponses inexactes ??

Pour la partie B,
ton résultat est cohérent (cf. mon post d'hier à 20:43).

NB : je t'ai attendue avant hier soir, puis hier soir aussi... Si tu décides de ne plus répondre, dis le moi, cela m'évitera d'attendre.

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 15:18

FONCTIONS_UTILISEES
VARIABLES
  D EST_DU_TYPE NOMBRE
  J EST_DU_TYPE NOMBRE
  P EST_DU_TYPE NOMBRE
  B EST_DU_TYPE NOMBRE
  I EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
  B PREND_LA_VALEUR 0
  POUR I ALLANT_DE 1 A 100
    DEBUT_POUR
    D PREND_LA_VALEUR 0
    POUR J ALLANT_DE 1 A 20
      DEBUT_POUR
     P PREND_LA_VALEUR algobox_alea_ent(0,1)
      SI (P==0) ALORS
        DEBUT_SI
        D PREND_LA_VALEUR D+1
        FIN_SI
      FIN_POUR
    SI (D==0) ALORS
      DEBUT_SI
      B PREND_LA_VALEUR B+1
      FIN_SI
    FIN_POUR
  AFFICHER "Fréquence d'atteinte de B"
  AFFICHERCALCUL B/100
FIN_ALGORITHME

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 15:19

voilà ce que j'ai fait pour l'algo mais message erreur où la phrase est en gras

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 15:20

suis désolée excuses moi

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 15:46

je m'absente je reprendrai tout à l'heure

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 15:53

as tu essayé d'écrire la ligne en  majuscules ?

sinon, dans l'aide d'algobox, tu trouveras l'instruction qui va bien pour obtenir un entier aléatoire (peut-être n'avons nous pas la meme version d'algobox ?).

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 16:03

il y a aussi une autre erreur dans ton algo :

tu ajoutes 1 a B quand D=0   alors qu'il faut le faire quand D=10 !

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 18:31

il me marque toujours la même erreur à la mm ligne

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 19:45

1   FONCTIONS_UTILISEES
2   VARIABLES
3     D EST_DU_TYPE NOMBRE
4     J EST_DU_TYPE NOMBRE
5     P EST_DU_TYPE NOMBRE
6     B EST_DU_TYPE NOMBRE
7     I EST_DU_TYPE NOMBRE
8   DEBUT_ALGORITHME
9     B PREND_LA_VALEUR 0
10    POUR I ALLANT_DE 1 A 100
11      DEBUT_POUR
12      D PREND_LA_VALEUR 0
13      POUR J ALLANT_DE 1 A 20
14        DEBUT_POUR
15        P PREND_LA_VALEUR ALGOBOX_ALEA_ENT(0,1)
16        SI (P==0) ALORS
17          DEBUT_SI
18          D PREND_LA_VALEUR D+1
19          FIN_SI
20        FIN_POUR
21      SI (D=10) ALORS
22        DEBUT_SI
23        B PREND_LA_VALEUR B+1
24        FIN_SI
25      FIN_POUR
26    AFFICHER "Fréquence d'atteinte de B :"
27    AFFICHERCALCUL B/100
28  FIN_ALGORITHME

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 19:45

l'algo fonctionne mais je n'ai pas le résultat attendu

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 16-12-17 à 21:43

l'algo fonctionne, OK.

quel résultat obtiens tu ?

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 17-12-17 à 09:14

#1 Nombres/chaines (ligne 9) -> D:0 | J:0 | P:0 | B:0 | I:0
Entrée dans le bloc DEBUT_POUR/FIN_POUR (ligne 11)
#2 Nombres/chaines (ligne 11) -> D:0 | J:0 | P:0 | B:0 | I:1
#3 Nombres/chaines (ligne 12) -> D:0 | J:0 | P:0 | B:0 | I:1
Entrée dans le bloc DEBUT_POUR/FIN_POUR (ligne 14)
#4 Nombres/chaines (ligne 14) -> D:0 | J:1 | P:0 | B:0 | I:1

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 17-12-17 à 09:40

Sortie du bloc DEBUT_POUR/FIN_POUR (ligne 20)
Entrée dans le bloc DEBUT_POUR/FIN_POUR (ligne 14)
#43 Nombres/chaines (ligne 14) -> D:7 | J:17 | P:0 | B:0 | I:1
#44 Nombres/chaines (ligne 15) -> D:7 | J:17 | P:1 | B:0 | I:1
La condition n'est pas vérifiée (ligne 16)
Sortie du bloc DEBUT_POUR/FIN_POUR (ligne 20)
Entrée dans le bloc DEBUT_POUR/FIN_POUR (ligne 14)
#45 Nombres/chaines (ligne 14) -> D:7 | J:18 | P:1 | B:0 | I:1
#46 Nombres/chaines (ligne 15) -> D:7 | J:18 | P:0 | B:0 | I:1

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 17-12-17 à 12:25

bonjour

Ce que tu me postes, ce sont les étapes successives d'un déroulement pas à pas de ton algorithme...
fais le tourner sans "pas à pas"   pour avoir juste le résultat du calcul B/100 que tu affiches à la fin.

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 17-12-17 à 12:28

bonjour Leile


voilà ce que j'obtiens sans le pas à pas


***Algorithme lancé***
Fréquence d'atteinte de B :1
***Algorithme terminé***

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 17-12-17 à 12:31

dans l'algorithme je ne dois pas enlever D= 10 car dans la question on me demande de compléter le programme pour simuler un grand nombre de fois (100 fois par exemple) une telle marche aléatoire

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 17-12-17 à 12:41

non tu ne dois pas enlever (D=10)  puisque c'est le test qui te permet de savoir si tu as atteint B ou non..

par contre, ce n'est pas D=10     mais D==10  que tu dois placer !

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 17-12-17 à 12:45


Ah d'accord , excuses moi pour l'algo , j'ai un peu de mal avec ..

voilà ce que j'obtiens après avoir mis les "=="

***Algorithme lancé***
Fréquence d'atteinte de B :0.19
***Algorithme terminé***

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 17-12-17 à 12:55

hé bien voilà ! OUF   on y est arrivé.

ce que tu obtiens B=0,19  est la fréquence d'atteinte du point B.
si tu lances ton algorithme plusieurs fois, tu obtiendras des résultats un peu différents à chaque fois, mais qui tournent toujours autour de 0,176
Si tu le lançais 500 fois par exemple, et que tu fasses la moyenne de tes 500 résultats, tu trouverais quelque chose de très proche de 0,176.
Sur un très grand échantillon, la fréquence se rapproche de la probabilité.

La probabilité est calculée : elle est théorique, elle vaut quelque soit l'échantillon.
la fréquence est constatée : plus l'échantillon est grand, plus elle se rapproche de la proba.

As tu compris ?

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 17-12-17 à 13:12

Oui , j'ai compris mais le souci c'est que j'ai beaucoup de mal avec les algorithmes

Je sais que c'est de la logique ,mais je bloque à chaque fois

Mais sur cet exercice là , oui j'ai compris

En tout cas je te remercie beaucoup pour ta patience et encore désolée de ne pas t'avoir dit quand je n'étais plus là

merci beaucoup

Posté par
Leile
re : Varaible aléatoire 17-12-17 à 13:22

je t'en prie,

passe un bon dimanche.

A une autre fois peut-être.

Posté par
coatch
re : Varaible aléatoire 17-12-17 à 13:33

Merci bon dimanche à toi aussi


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