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Variation de Dérivées

Posté par
saraassk
20-02-23 à 16:58

Bonjour,
J'ai fait un exercice entièrement cependant le résultat me semble bizarre. Voici l'énoncé et mes réponses:

Optimisation du volume d'une boîte

Avec une feuille en carton de 20 cm par 30 cm on cherche à construire une boîte (sans le
couvercle).
Pour cela, on doit dessiner quatre carrés de même dimension (variable x), aux quatre coins de la feuille, que l'on découpera suivant la diagonale (en pointillé) afin de pouvoir plier (selon les traits
pleins) et faire se rejoindre les quatre « côtés » de la boîte à l'aide des « languettes » ainsi
obtenues.

Problématique
Quelle valeur doit-on prendre pour × afin que le volume de la boîte ainsi formée soit maximal ?

1. Exprimer le volume V(x), en cm^3 de la boîte en fonction de x : le mettre sous la forme k (ax^3+bx^2+cx+d)

2. Calculer la fonction dérivée V (x) et résoudre V (x)= O dans l'intervalle I = [O : 10]

3. Dans l'intervalle I, quel est le signe de V '(x)?
Faire ensuite un tableau de signes et de variations.

4. En déduire la valeur de x pour laquelle le volume de la boîte et maxi et calculer ce volume

Mes réponses:
1. V(x)=1(4x^3 -100x^2 + 600x)

2. V'(x)= 12x^2 -200x+600
   3x^2- 50x+150

J'ai utilisé le discriminant et ai obtenu >0 donc
x1= (50-700)/6

x2= (50+700)/6

C'est ici que ce trouve mon doute, pour ensuite remplir le tableau de signes et calculer le volume maximal final ca me semble bizarre de devoir garder une fraction avec une racine carré et qui ne tombe pas juste. Il existe pet être une simplification mais je ne la vois pas, à moins que j'ai fait une erreure de calcul.

Merci d'avance

Posté par
Leile
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:14

bonjour,

je regarde et je reviens.

Posté par
larrech
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:18

Bonjour

Citation :
V'(x)= 12x^2 -200x+600
   3x^2- 50x+150 tel quel ça n'a pas de sens écrit qu'il faut résoudre 3x^2- 50x+150 =0


Ce n'est pas parce que "ça ne tombe pas juste" que c'est faux.

Par contre, l'une des solutions est à rejeter (pourquoi ?) et l'autre se simplifie  (100=102)

Posté par
Leile
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:18

Q1  :   ton calcul est juste, mais tu dois factoriser (k ne vaut pas 1).

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:20

Leile @ 20-02-2023 à 17:18

Q1  :   ton calcul est juste, mais tu dois factoriser (k ne vaut pas 1).

Ah mince sinon comme autre  facteur je ne vois que x ou 2

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:21

Bonjour

  V(x)=x(20-2x)(30-2x)=4x^3-100x^2+600x)=4(x^3-25x^2+150x)

Quel intérêt de mettre 1 ?

v'(x)=4(3x^2-50x+150)

Pourquoi dites-vous que 1 \iff 4 ?

On a bien après simplification  x_1= \dfrac{25-\sqrt{175}}{3}\quad  x_2=\dfrac{25+\sqrt{175}}{3}

Quel est le problème  ? il ne faut pas oublier l'ensemble de définition.

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:23

Bonjour tout le monde.

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:25

larrech @ 20-02-2023 à 17:18

Bonjour

Citation :
V'(x)= 12x^2 -200x+600
   3x^2- 50x+150 tel quel ça n'a pas de sens écrit qu'il faut résoudre 3x^2- 50x+150 =0


Ce n'est pas parce que "ça ne tombe pas juste" que c'est faux.

Par contre, l'une des solutions est à rejeter (pourquoi ?) et l'autre se simplifie  (100=102)


Merci pour votre réponse.
J'ai tente de résoudre l'équation mais je n'y suis pas parvenue, je me suis arrêtée à 3x2-x = 3

Pour les solutions vous parlez de x1 et x2 ? Parce que je ne vois pas de 100.

Posté par
Leile
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:26

Ah mince sinon comme autre  facteur je ne vois que x ou 2

k est une constante, ça ne peut pas etre x.
Mais tu peux factoriser par 4 .

en q2   tu passes de  V'(x)= 12x^2 -200x+600   à      3x^2- 50x+150

tu as factorisé ?   tu voulais écrire   3x^2- 50x+150= 0 ?

et pour la racine :   700 = 7*100 ....

Posté par
larrech
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:26

J'ai dit une bêtise "l'une des solutions est à rejeter ". Je m'en vais.

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:30

Non, pourquoi  ? Il y a bien une solution qui ne convient pas puisque x\in[0~;~10]

Posté par
larrech
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:35

Merci [b]hekla[/b n'ayant lu l'énoncé qu'en diagonale, je doutais

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:38

hekla @ 20-02-2023 à 17:21

Bonjour

  V(x)=x(20-2x)(30-2x)=4x^3-100x^2+600x)=4(x^3-25x^2+150x)

Quel intérêt de mettre 1 ?

v'(x)=4(3x^2-50x+150)

Pourquoi dites-vous que 1 \iff 4 ?

On a bien après simplification  x_1= \dfrac{25-\sqrt{175}}{3}\quad  x_2=\dfrac{25+\sqrt{175}}{3}

Quel est le problème  ? il ne faut pas oublier l'ensemble de définition.


Ah oui merci je suis allée trop vite.
Par contre pour x1 et x2 vous les avez calculer à partir de V'(x) ou V(x) car je ne comprends pas quel b ni quel a vous utilisez dans la formule x1=(-b-)/2a

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:40

Pour la question 2 je dois résoudre V'(x)=0 mais je ne vois pas comment le faire.

Posté par
Leile
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:42


saraassk  ton x1 et x2  sont corrects, sauf que tu peux simplifier la racine  puisque 700  =  7 * 100  et éventuellement ensuite simplifier par 2.

hekla,   on est trop nombreux, je trouve.
je te laisse terminer.

Posté par
Leile
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:44

saraassk @ 20-02-2023 à 17:40

Pour la question 2 je dois résoudre V'(x)=0 mais je ne vois pas comment le faire.


c'est ce que tu as fait !!   tu as trouvé x1 et x2

ce que tu n'a pas fait c'est résoudre   V(x)=0.

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 17:46

Ce que vous avez effectué. J'ai écrit après simplification

50=2\times 25\quad  700=4\times 175\quad 6=2\times 3


x_1=\dfrac{50-\sqrt{700}}{6}=\dfrac{2\times 25-\sqrt{4}\times \sqrt{175}}{2\times 3}=\dfrac{25-\sqrt{175}}{3}
 \\

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 19:25

Ah daccord merci, par contre je ne comprends pas où est passé le4

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 19:30

\sqrt{4}=2

\dfrac{2\times 25-\sqrt{4}\times \sqrt{175}}{2\times 3}=\dfrac{2\times 25-2\times \sqrt{175}}{2\times 3}=\dfrac{2\times (25-\sqrt{175})}{2\times 3}=\dfrac{\cancel{2}\times (25-\sqrt{175})}{\cancel{2}\times 3}=\dfrac{ 25-\sqrt{175}}{ 3}

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 20:02

Ah oui j'y vois plus clair, merci beaucoup pour l'aide.

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 20:05

Donc pour le signe V'(x)>0 c'est bien ça ? (c'est la question 3)
et ensuite je n'ai plus qu'à placer x1 dans le tableau faire les sens de variation puis calculer le volume ?

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 20:09

Pour le volume je trouve environ 1035cm^3 en faisant 12x22x(25-175/3) est-ce correct ?

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 20-02-23 à 20:15

V'(x)=4(3x^2-50x+150)

V'(x)=0 $si $ x=\dfrac{25-\sqrt{175}}{3}\quad x\in[0~;~10]

Question 3

Un trinôme du second degré est du signe de a  sauf pour les valeurs comprises entre les racines lorsqu'elles existent.

Appliquez en tenant compte de l'ensemble de définition.

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 15:42

Bonjour
Voici ce que j'ai fait pour le tableau:

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 15:45

x                                        0                   25-175/3                     10  

signe de V'(x)             +                                     0                                                               +

                                                                                 ?                  
Variations de V'(x) 0                                                                                                        0

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 15:46

j'ai mis un point d'interrogation car je ne sais pas quoi mettre à cet endroit

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 15:54

Non, vous avez montré que les racines étaient \dfrac{25-\sqrt{175}}{3}\approx  3,92  $et  $ \dfrac{25+\sqrt{175}}{3}\approx 12,74
par conséquent, entre \dfrac{25-\sqrt{175}}{3} $et  $ 10\  f'(x) <0

Sinon comment avoir un maximum  f\left(\dfrac{25-\sqrt{175}}{3}\right)

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 16:29

D''accord donc entre 0 et 25-175/3  c'est positif puis entre 25-175/3 et 10 c'est negatiif c'est bien ça ?

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 16:33

Oui, c'est cela.

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 16:50

D'accord merci beaucoup et pour le maximum dans le tableau à la ligne la variation de V'(x) je dois calculer avec la formule de V'(x)= 4(3x2-50x+150)  en remplacant x par 25-175/3 ?

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 17:02

Peu nous chaut les variations de V', celles qui nous intéressent sont celles de V.  

D'ailleurs si vous remplacez  x par \dfrac{25-\sqrt{175}}{3}  dans V'(x), vous obtiendrez 0.

C'est le signe de V'(x) qui nous renseigne sur le sens de variations de V.

C'est bien ainsi que l'on a pu montrer qu'il y avait un maximum

On calcule donc V\left(\dfrac{25-\sqrt{175}}{3}\right)

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 17:09

Mince c'est vrai je me suis trompée..

J'ai fait V(25-175/3)  et ai obtenu 1056 ca ne pose pas de problème si j'arrondis à l'unité près ? Car les chiffres apprès la virgule sont nombreux.

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 17:15

Vous pouvez en laisser quelques-uns

le tableau de variation

Variation de Dérivées

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 17:27

D'accord merci !
Et pour la question 4 je dois utiliser la formule du volume d'un pavé c'est bien cela ?
V= Longueur x largeur x hauteur

Et je remplace donc Longueur par 30- 2(25-175/3)
largeur par 20- 2(25-175/3) et enfin hauteur par (25-175/3)

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 17:40

Citation :
4. En déduire la valeur de x pour laquelle le volume de la boîte et maxi et calculer ce volume


Explicitement, il n'est pas demandé les dimensions de la boîte.

Si vous tenez à le faire, alors oui

les dimensions sont 30-2x,\ 20-2x,\ x

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 18:03

Mais il nous demande bien à la fin de la question de "calculer ce volume" ce n'est pas le volume de la boite ?

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 18:13

C'est bien le volume de la boîte qui est demandé.

Vous avez calculé au tout début V(x)=x(20-2x)(30-2x)=4x^3-100x^2+600x

Tout l'exercice consistait à trouver la valeur de x qui rendait ce volume maximal

on a trouvé pour x, \dfrac{25-\sqrt{175}}{3}, on a alors pu calculer le volume et on a trouvé

approximativement 1056,31. On a bien ce volume maximal. On n'est pas obligé de rependre les dimensions des côtés.

Posté par
saraassk
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 18:40

Ah oui en effet on a déjà calculé le volume maximal.
Merci beaucoup pour votre aide en tout cas

Posté par
hekla
re : Variation de Dérivées 21-02-23 à 18:52

De rien



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