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Niveau Licence Maths 1e ann
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Vecteur et Normes

Posté par
EleveModeste
27-12-20 à 12:58

Bonjour

J'ai besoin d'aide pour cet exercice SVP !

Citation :
énoncé copié à 13h50
Projection orthogonale d?un vecteur unitaire de l?espace

L?espace est rapporté au repère cartésien R = (O;ex;ey ;ez ). Soit un vecteur u unitaire et non colinéaire à ez . On définit le vecteur v comme le projeté de u sur le plan (Oxy). On considèrera que les angles et  
sont entre 0 et /2 rad.

1. Exprimer le vecteur v en fonction de IvI et dans la
base associée au repère R.

2. Exprimer le vecteur u en fonction de v, ez et

3. Exprimer le vecteur u dans la base associée au repère R en fonction de IvI, et .

4. Exprimer la norme de u en utilisant la question précédente.
En déduire la norme de v.

5. Calculer le produit vectoriel w = u ^ v.

6. Exprimer l?angle (u; v) en utilisant les questions précédentes.


Je suis désolé de balancer ça comme ça sans trace écrite, mais je ne comprend absolument pas comment répondre aux  premières questions !

Autant la 4 j'ai répondu que norme de u = V(x^2+y^2+z^2), de même pour z, je doute que ce que j'ai écris soit faux, mais je pense pas que ce soit la réponse attendue

Pour la 5,  si on utilise la règle des gammas
j'ai pour u  1                         et v    1
                        1                                     1
                        1                                     0           normalement

donc ça nous fait  1x0-1x1    =-1
                                        1x1-0x1    =1
                                         1x1-1x1   =0

le produit vectoriel vaut donc (-1,1,0) ?


Pour la 6
je fais  IuI x IvI x sin (u,v)

donc V2 x V2 x sin (u,v)
soit 2x sin (u,v), pour trouver sin

j'utilise la formule  cos-1 ( u . v / IuI x IvI )
ce qui me fait cos-1 (2 / 2) soit cos-1 = 0, donc l'angle vaut 0 et sinus aussi
ça me fait donc ... 2x sin (u,v) = 0 ...?

Merci d'avance !

  

Vecteur et Normes
* modération> Image recadrée, sur la figure uniquement ! Si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum  EleveModeste,   *
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI (Clique sur ce lien)

Posté par
Witaek
re : Vecteur et Normes 27-12-20 à 13:16

Bonjour. Question 1 il faut projeter ton vecteur \vec{v} selon les différents axes du repère ( donc selon \vec{e_x}, \vec{e_y}, \vec{e_z} ).
Lorsque tu exprimes ton vecteur selon les axes du repère tu obtient quelque chose de la forme \vec{v} = a\vec{e_x}+b\vec{e_y}+c\vec{e_z}
Tu dois simplement trouver a, b et c.

Déjà tu remarques que \vec{v} est contenu dans le plan (xOy) donc il n'a pas de composante selon \vec{e_z} donc c= 0.

Pour trouver a et b, un peu de trigonométrie et le tour est joué. Essaye de visualiser le schéma par le dessus, tu verras apparaître deux triangles rectangles.

Bonne continuation.

Posté par
EleveModeste
re : Vecteur et Normes 27-12-20 à 13:24

*modération* >citation inutile supprimée*

Bonjour !
Je ne comprend pas pourquoi utiliser les coordonnées de v étant donné qu'on nous demande la norme en plus de l'angle
on aurait quelque chose du genre V(x^2+y^2+z^2)
et si effectivement on peut se contenter des coordonnées simplement (même si je ne vois pas pourquoi), étant donné que u est un vecteur unitaire, et que v et son projeté, on peut pas simplement déduire que ses coordonnées sont 1,1,0 ?
je dois sans doute me tromper mais si ça nous évite de passer par les triangles ^^

Merci !

Posté par
malou Webmaster
re : Vecteur et Normes 27-12-20 à 13:25

Witaek, bon pour une fois
Je vais laisser ton aide en faisant le pari que EleveModeste va recopier son énoncé, mais... A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

Posté par
EleveModeste
re : Vecteur et Normes 27-12-20 à 13:39

*modération* >citation inutile supprimée*

Bonjour !
Désolé !! je vais de ce pas le faire ! peut-on éditer un post ou dois je le faire sur un nouveau ?  
Merci

Posté par
malou Webmaster
re : Vecteur et Normes 27-12-20 à 13:41

tu le fais en répondant à mon message , j'irai le coller dans ton message initial
merci

Posté par
EleveModeste
re : Vecteur et Normes 27-12-20 à 13:49

malou @ 27-12-2020 à 13:41

tu le fais en répondant à mon message ,  j'irai le coller dans ton message initial
merci


Ok très bien !

4.3 Projection orthogonale d'un vecteur unitaire de l'espace

L'espace est rapporté au repère cartésien R = (O;ex;ey ;ez ). Soit un vecteur u unitaire et non colinéaire à ez . On définit le vecteur v comme le projeté de u sur le plan (Oxy). On considèrera que les angles φ et  θ
sont entre 0 et π/2 rad.

1. Exprimer le vecteur v en fonction de IvI et φ dans la
base associée au repère R.

2. Exprimer le vecteur u en fonction de v, ez et θ

3. Exprimer le vecteur u dans la base associée au repère R en fonction de IvI, φ et θ.

4. Exprimer la norme de u en utilisant la question précédente.
En déduire la norme de v.

5. Calculer le produit vectoriel w = u ^ v.

6. Exprimer l'angle (u; v) en utilisant les questions précédentes.

Merci !

Posté par
Witaek
re : Vecteur et Normes 27-12-20 à 14:23

EleveModeste @ 27-12-2020 à 13:24

*modération* >citation inutile supprimée*

Bonjour !
Je ne comprend pas pourquoi utiliser les coordonnées de v étant donné qu'on nous demande la norme en plus de l'angle
on aurait quelque chose du genre V(x^2+y^2+z^2)
et si effectivement on peut se contenter des coordonnées simplement (même si je ne vois pas pourquoi), étant donné que u est un vecteur unitaire, et que v et son projeté, on peut pas simplement déduire que ses coordonnées sont 1,1,0 ?
je dois sans doute me tromper mais si ça nous évite de passer par les triangles ^^

Merci !


En fait dans ton exercice x, y et z sont des inconnues (ce sont les a, b  et c de mon message de tout à l'heure). Ce que tu dis pour la  norme n'est pas faux mais ça ne nous avance pas. Par contre pour les coordonnées de v je ne comprends pas trop comment tu as trouvé ça.

Le principe de la première question c'est justement d'exprimer ce x, y  et z en fonction des données du problème (qui sont et    \|\vec{v}\|). Donc hop hop hop on fait de la trigonométrie pour trouver tout ça. Je te met un schéma en vue du dessus pour t'aider à déterminer x et y (a et b sur mon schéma).

Vecteur et Normes

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Vecteur et Normes 27-12-20 à 14:26

Bonjour EleveModeste,
peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
EleveModeste
re : Vecteur et Normes 27-12-20 à 14:44

> Witaek  

Pour le vecteur v, c'est donné dans l'énoncé
"Soit un vecteur u unitaire et non colinéaire à ez . On définit le vecteur v comme le projeté de u sur le plan (Oxy)"


Je veux bien passer par la formule de Pythagore ;

ça nous ferait IvI^2 = x^2 + y^2
soit IvI = V (x^2 + y^2)

pour trouver ? on pourrait essayer ;  a / IvI

> Tilk_11
Bonjour !
c'est fait

malou edit > ne cite pas, ça allonge inutilement, et j'en déduis donc que tu es dans le supérieur et non en terminale

Posté par
Witaek
re : Vecteur et Normes 27-12-20 à 14:58

IL y a deux problèmes. Déjà, x et y étant des inconnues elles ne peuvent pas faire partie de ta réponse, il faut utiliser les données ( et \|\vec{v}\|).

De plus tu as mal compris la consigne. Dans la question 1 tu ne dois pas trouver et \|\vec{v}\| mais exprimer \vec{v} EN FONCTION DE et \|\vec{v}\|.

Je fais la première question pour te montrer l'exemple pour la suite.

Donc on a \vec{v} = a\vec{e_x}+b\vec{e_y} + c\vec{e_z}

J'ai déjà expliqué que c = 0 car v est contenue dans le plan (xOy).

Ensuite pour trouver a et b je fais de la trigonométrie (SOH CAH TOA) dans les deux triangles que j'ai mis en évidence dans mon schéma :

 cos(\phi) = \frac{a}{\|\vec{v}\|} donc  a = cos(\phi)\|\vec{v}\|

Ensuite pour trouver b :
cos(\frac{\pi}{2} - \phi) = sin (\phi) = \frac{b}{\|\vec{v}\|} donc  b = sin(\phi)\|\vec{v}\|

Finalement tu as \vec{v} = cos( \phi)\|\vec{v}\| \vec{e_x} + sin(\phi)\|\vec{v}\|\vec{e_y}.

C'est tout bon, tu as exprimé \vec{v} en fonction de et \|\vec{v}\|. Tu peux maintenant passer à la suite.

Posté par
Witaek
re : Vecteur et Normes 27-12-20 à 15:03

Et pardonne l'erreur d'écriture. Evidemment \phi c'est

Posté par
EleveModeste
re : Vecteur et Normes 29-12-20 à 11:47

Bonjour,

super j'ai bien compris du coup ce qu'on me demandait, Merci beaucoup !

Posté par
carpediem
re : Vecteur et Normes 29-12-20 à 12:40

salut

on peut raisonner "à l'envers" très simplement

je note (i, j, k) la base orthonormée de l'espace

si u = xi + yj + zk que valent les produits scalaires u.i, u.j et u.k ?

que valent les produits scalaires v.i et v.j ?

Posté par
Witaek
re : Vecteur et Normes 29-12-20 à 18:04

Effectivement Carpediem ta méthode est une bonne alternative. Particulièrement si on a du mal avec la trigo

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