Définition  Soit M  une matrice carrée, on dit que
a est valeur propre de M ssi il existe un vecteur non nul  X tel que  MX = a X .

remarque 1: c'est pareil de dire que M-a I  n'est pas injective que de dire  a  est valeur propre.
remarque 2: comme on est en dimension finie, un endomorphisme est injectif ssi il est bijectif donc  a  est valeur propre est équivalent à M-aI
n'est pas bijectif est aussi équivalent à
det(M-aI) est nul .

déf : régulière et inversible c'est pareil (curieux qu'il y ait les deux termes dans ton énoncé en général on choisit)

Merci !

Mais je ne connais pas le determinant d'une matrice de dimensions sup a 3*3!!

De plus la manipulation des endomorphisme ne me parait pas du tout evidente.

Aurais tu une idée? merci

De plus j'ai cherché, et je ne vois pas comment determiner le rang de CL?

Il n'y a que des inconnus .. :s

Salut,

le rang de CL est facilement 1 (si C et L sont non nulles) car chaque colonne de la matrice résultante est proportionnelle à C.

A+
biondo

je n'ai pas bien compri ta justification BIONDO ..

Pourrais tu detailler un peu plus? merci

je ne vois pas en quoi la proportionnalité de chaque colonne implique le rang egal a 1 ? merci

Ben...

Quand tu calcules CL, ca donne, en ecrivant les vecteurs colonnes:

(L1.C,  L2.C,  ..., Ln.C)


Donc chaque colonne est proportionnelle à C. Le' rtang, c'est le nombre maximum de colonnes indépendantes. Donc c'est forcément1.


On peut le voir en termes d'endomorphisme, et chercher la dimension de l'image:

Soit X un vecteur colonne. (CL).X = C.(LX)
Or LX est un scalaire, donc (CL).X = k.C

L'image de (CL) est incluse dans Vect(C), qui est de dimension 1. Si C est non nulle et L non nulle, alors c'est exactement 1.


biondo

Merci pour ton aide!

Je ne comprends pas l'xplication avec les endomorphisme , trop compliqué pour moi , mais la justification en termes matriciels me suffit bien

Merci de ton aide, si jamais ta une idée pour la suite, je suis preneur, pcq j'ai absolument aucun cours

quelqu'un pourrait il m'aider pour les valeurs propres et vecteurs propres?

Merci , pcq je ne connais toujours pas la definition d'un vecteur propre!!

Merci

Salut,

Un vecteur u de E est dit vecteur propre de f s'il existe un scalaire λ (appelé valeur propre associée à u) tel que f(u)= u. On note Eλ(f) l'ensemble des vecteurs propres de f pour la valeur propre λ.

Comme f est linéaire, Eλ(f) est un sous-espace vectoriel de E.

Pookette

merci beaucoup pour ton aide deja precieuse..

Mais le probleme est que malgré toutes ces definitions .. je reste toujours incapable de faire cet exo, qui est le premier du dm :s

merci

Salut,

j'ai pris cette déf. sur Wikipédia, j'avais fait des cours sur les matrices et tout ça il y a deux ans, mais je n'ai plus mes cours sous la main, et en plus je n'ai pas aimé ces cours!

En algèbre linéaire, le rang d'une matrice est le nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes après avoir enlevé les colonnes ou lignes nulles (ne contenant que des 0). Le rang des lignes est égal au rang des colonnes. On peut déterminer le rang en procédant à une élimination via la méthode de Gauss-Jordan et en examinant la forme échelonnée réduite

vas ici peut être ?

Bon courage !

Pookette

je te remercie.

Le probleme du rang etant resolu, grace a ton aide mais aussi celle de biondo !!

Cependant, mon probleme se situe sur les vecteurs et valeur propres.. dont je en sais que faire :s

merci a toi en tout cas

Et c'est reparti...

La matrice etant de rang 1, la dimension de son noyau est n-1.
D'une maniere generale, le noyau, lorsqu'il n'est pas reduit au vecteur nul, est un sous-espace propre de la matrice consideree, pour la valuer propre 0. Facile. (si x est dans le noyau, M.x = 0.x...).

Dans la suite, je vais noter k = LC (le scalaire dont parle l'enonce).

A part 0, peut-on trouver d'autres valeurs propres?
Si il en existe, appelons-la s par exemple, elle verifie:
il existe un x non nul tel que:
CL.x = s.x

Donc
CL(CL.x) = s.CL.x = s^2.x
Mais CL(CL.x) = C(LC)L.x = k.(CL.x = k.s.x

Autrement dit s^2 = ks, car x est non nul par definition d'un vecteru propre.

Deux cas se presentent alors: soit k est nul, et s ne peut etre que 0...
Soit k est  non nul, et s= 0 ou bien s=k. On peut alors verifier que C est vecteur propre pour cette valeur propre, car (CL).C = C.(LC) = k.C


Au final:
si k=0, 0 est la seule valeur propre possible, de sous-espace propre associe le noyau de la matrice, de dimension n-1.

si k<>0, 0 est une valeur propre, sous-espace propre associe le noyau, de dimension n-1, et k valeur propre egalement, sous-espace propre associe Vect(C), de dimension 1 (ce dernier sev ne peut etre plus grand, car de toute maniere un sous-espace propre est inclus dans l'image de la matrice, et que celle-ci est de rang 1).



A+
biondo

merci enormement pour cette reponse, mais je vais continuer a t'ennuyer un peu ...

C 'est quoi le noyau d'une matrice?

Sinon le reste du raisonnement est clair, meme si je ne comprends pas tout a fait bien tout ce que tu fais: logique sans cours

Cependant, je ne comprends pas bien en quoi C est un vecteur propre? (tout simplement parce qu'il verifie la definition?)

Merci a toi !!

Le noyau d'une matrice, c'est l'ensemble des matrices colonnes qui verifient M.X = 0.
C'est analogue (et c'est en fait la meme chose, a la representation pres dans une base) au noyau de l'endomorphisme auquel on peut identifier la matrice en question....

C est vecteur propre, tout simplement parce qu'il verifie la definition, comme tu l'as dit...


VOila.
A+
biondo

tu assimiles donc le noyau de l'application linéaire associée a la matrice, a la matrice elle meme?

COmment puis je determiner les vecteurs et valeurs propres de I + CL ? par la meme methode que toi BIONDO?

merci encore ..

Pas exactement:
J'assimile la matrice à l'application linéaire qu'elle représente dans la base canonique.
Et le noyau de cette matrice, au noyau de l'application linéaire en question.

Car si la matrice M représente f dans la base canonique, alors si x est un vecteur, représenté par le vecteur colonne X dans la base canonique,

j'ai f(x) = 0 équivaut à M.X = 0


Je parle indiféremment de l'endomorphisme ou de la matrice. C'est pareil...


Pour les vecteurs propres de I+CL:

On a vu que le noyau de CL est de dimension n-1. Si (x₁,...x_n-1) en est une base, alors que peux-tu dire de

(I+CL).x_i = ???

Et donc?


A+
biondo

(I + CL).x_i = I.x_i + (CL).x_i

Or I.x_i egal a I?

donc (I + CL).x_i = (CL).x_i

Est ce juste? ou COMPLETEMENT FAUX? (ce qui est fort probable ..)

Merci pour ton aide tres precieuse

I, c'est la matrice identité. I.x_i = ???

Et x_i est un élément du noyau de CL. (CL).x_i = ???

SO?
biondo

EUh : I.x_i = x_i

Si x_i est un element du noyau , je dirais que :

(CL).x_i = O?

Toujours aussi faux? lol

Ce qui amene :

(I + CL).x_i = x_i ?

Donc (I + CL) = 1? problemee non?

La partie

(I+CL).x_i = x_i est correcte!

On ne peut pas en déduire que (I+CL) est l'identité, car il n'y a que (n-1) vecteurs xi (c'est une base du noyau, de dimension n-1).

Je te laisse chercher encore un peu, il suffit de reprendre ce qu'on a fait pour CL, en l'adaptant un peu. (distinguer les cas LC = -1 et LC<>-1).

Courage!

biondo

je te remercie beaucoup pour ton aide !!

je vais chercher encore un peu, mais mon probleme reste entier: je n'ai aucun cours!!!

cependant a l'aide de tes explications et de la "methode biondo" je devrais pouvoir m'en sortir!!

Je te tiens au courant des que j'ai du nouveau ...

merci

je n'ai pas bien compris en quoi le fait qu'il n'y est que n1 vecteur ne permet pas de deduire que c'est l'identité ?

EN effet , n-1 vecteur dans une dimension n-1 forment une base.

C''est vrai pour tous les x_i donc chaque x_i a pour image lui mm par la transformation I + CL ..

c'est donc que I + CL est la matrice identité pour les x_i

non?

Je viens de penser( et oui ca m'arrive )

peut on dire que I + CL est le vecteur unitaire du sev?

C'est donc alors la matrice identité ... :c

toujours pas? lol

Le problème, c'est qu'on est en dimension n.
En revanche, la restriction de l'endomorphisme (I+CL) au noyau de (CL) est effectivement l'identité. Mais pas pour l'espace tout entier...


De plus, attention, I+CL n'est pas un vecteur! C'est un endomorphisme. Enfin une matrice (c'est pareil pour moi).

Pour la suite:
Refais ce que j'ai fait avant. Si s est une valeur propre de (I+CL), et x un vecteur propre associé, alors...

A+
biondo

Mais une matrice ne represente t elle pas un vecteur?T

TOujour faux ? lol

Il ne me reste qu'a prouver qu'en dimension n ca marche.

Parce que si c'est vrai pour al dimension n-1, il ne me reste qu'a le montrer pour un x_n, non?

toujours aussi faux? lol

Ben en fait, le probleme c'est que I+CL n'est pas l'identite...

Sinon on aurait CL = 0, mais comme on a dit que CL est de rang 1, ca va pas trop.


Donc tu t'acharnes pour rien. Et une matrice ne represente pas un vecteur. Enfin pas un seul, on va dire. C'est a la limite une collection de plusieurs vecteurs.

Une matrice represente un vecteur lorsque c'est une matrice colonne: n lignes, 1 seule colonne.


OK?