Soit un espace vectoriel. Disons qu'à tout vecteur propre d'un endomorphisme correspond une valeur propre associée à . Enfin, à toute valeur propre de correspond un s.e.v de , lequel est appelé sous-espace propre associé à .

A +

Bonsoir.

Soient E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E.

Rappel.
Un vecteur propre est un élément x NON NUL de E tel qu'il existe un scalaire de K vérifiant : f(x) = .x.
est appelée une valeur propre de f.
On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre l'ensemble des éléments de E vérifiant : f(x) = .x. On le note généralement E().

E() est un sous-espace vectoriel de E.

E() contient le vecteur nul O (qui n'est pas un vecteur propre mais qui vérifie f(x) = .x), et tous les vecteurs propres associés à la valeur propre .

Exemple



Les valeurs propres sont 2 et 1.

E(2) est l'ensemble des vecteurs de coordonnées : (x,y,0). E(2) est donc un plan vectoriel.

E(1) est l'ensemble des vecteurs de coordonnées : (x,x,-x). E(1) est donc une droite vectorielle.

je crois que j'y vois un peu plus clair.
Mais le vecteur propre, il sera toujours présenté sous forme de colonne, puisqu'on le trouve grâce à des matrices, non ?
ALors que l espace vectoriel sera de la forme de l'ensemble de départ de l'endomorphisme ?

oh, merci beaucoup, je crois que je viens vraiment de comprendre la différence entre ces deux notions !
PAr contre, pourriez vous m'éclaire par rapport à la forme dans laquelle on doit les présente

Quand tu travailles dans IR³ les vecteurs sont des triplets : (x,y,z).

La notation :



est le vecteur colonne associé.