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Niveau première
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vecteurs

Posté par
arawak
12-10-20 à 21:42

Bonjour, j'ai un dm pour *******j'ai fait les 3 premiers exercice mais là j'ai des difficultés. Merci de bien vouloir m'aider.
Le plan est muni  d'un repère (o,i,j), on donne: A(2;4) B(-2.2) C(6;-1), K est le milieu de  [AC]. Soit G et H les points définis par AG =2vecteurAB-1/2vecteur AC et vecteur BH=-1/3 vecteur BC.
a) calculer les coordonnées  des points K, G et H.
b)démontrer que B est milieu de [GK]
c)démontrer que les points A, G et H sont alignés.

coordonnées de K: xk=(2+6)/2=4 et yk=(4-1)/2=3/2 donc K(4;3/2)
pour G et H je ne sais pas comment faire ainsi que les deux autres questions.
nous n'avons pas vu ce chapitre en seconde .
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
hekla
re : vecteurs 12-10-20 à 21:53

Bonsoir

K oui

 \vec{AG}\quad \dbinom{x_G-x_A}{y_G-y_A}

On en fait autant avec les deux autres vecteurs

\lambda\vec{u} \quad \dbinom{\lambda x}{\lambda y}

\vec{u}\quad \dbinom{x}{y}\qquad \vec{u'}\quad \dbinom{x'}{y'} \qquad \vec{u} =  \vec{u'} \text{ si et seulement si }  \begin{cases}x=x'\\y=y'\end{cases}
 \\

Posté par
arawak
re : vecteurs 12-10-20 à 22:49

Bonjour hekla, merci de ton aide.
j'ai cherché G et H, pour les coordonnées de G j'ai fait:
vecteur AG(xG-2;yG-4)
vecteur AB(\bigl(\begin{smallmatrix} -4& \\ -2& \end{smallmatrix}\bigr)              et 2AB\bigl(\begin{smallmatrix} -8 \\ -4 \end{smallmatrix}\bigr)
  1/2AC\bigl(\begin{smallmatrix} 2\\ \frac{-5}{2} \end{smallmatrix}\bigr) alors 2AB-1/2AC\bigl(\begin{smallmatrix} -10 \\ -\frac{3}{2} \end{smallmatrix}\bigr)
alors AG=2AB-1/2AC
\left\lbrace\begin{matrix} x-2=-10 \\ y-4=-\frac{3}{2} \end{matrix}\right. \left\lbrace\begin{matrix} x=-12\\ y=\frac{5}{2} \end{matrix}\right.
donc G(-12;5/2)
coordonnées de H j'ai utilisé la même méthode: H a pour coordonnées (-6;5).
est ce la bonne méthode?



              

Posté par
hekla
re : vecteurs 12-10-20 à 23:12

\begin{cases}x-2=2\times (-4)-\dfrac{1}{2}\times4\\[0.5cm]y-4=2\times (-2)-\dfrac{1}{2}\times-5\end{cases}

 \begin{cases}x-2=-10\\y-4=-\dfrac{3}{2}\end{cases}

 G\  \left(-8~;~\dfrac{5}{2}\right) pas d'accord pour x


\vec{BH}\quad \dbinom{x+2}{y-2}\qquad \vec{BC}\quad \dbinom{6+2}{-1-2}

\begin{cases}x+2=\dfrac{-8}{3}\\y-2=1\end{cases} pas d'accord pour H

C'était évidemment la même méthode

Posté par
arawak
re : vecteurs 13-10-20 à 00:34

Merci pour ton aide, en recopiant j'ai vu mes erreurs et j'ai trouvé la même chose que toi.
Jai essayé de faire leb)
xB=(xG-xK)/2=-2
yB=2.
Donc B est le milieu de [GK].
Pour le c) jai calculé les vecteurs AG et AH
AG(-10;-3/2) et AH(-20/3;-1)
Deux vecteurs sont colineaires ssi xy'-x'y=0
-10×(-1)-20/3×(-3/2)=-10÷60/6=0
Le critère de colinéarité est vérifié  donc les vecteurs et AH sont colineaires  et les points A, G et sont alignés.
Jaimerai savoir si ma démarche est bonne. Merci d'avance

Posté par
hekla
re : vecteurs 13-10-20 à 10:43

Oui   il y a deux façons de montrer la colinéarité

soit avec les coordonnées soit  montrer que l'un est le produit de l'autre par un nombre réel

  Vous avez choisi la première c'est très bien

  l'autre en utilisant la relation de Chasles

\vec{BH}=\vec{BA}+\vec{AH}=  -\dfrac{1}{3}(\vec{BA}+\vec{AC})

\vec{AH}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}-\dfrac{1}{3}\vec{AC}=\dfrac{1}{3}\left(2\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\vec{AG}

Les vecteurs  \vec{AH} et \vec{AG}  étant colinéaires  les points A, G et H sont alignés

Remarque : avantage de la seconde manière, elle ne fait pas intervenir les calculs des coordonnées des points,

par conséquent si l'on s'est trompé avant, cela n'a pas d'influence.  

Moralité : aucune des deux n'est à privilégier.

Remarques  : on ne calcule pas les vecteurs mais les coordonnées (composantes) des vecteurs.

Vous avez écrit un signe ÷ au lieu d'un signe +

Posté par
arawak
re : vecteurs 13-10-20 à 20:40

Merci beaucouphekla de votre aide

Posté par
hekla
re : vecteurs 14-10-20 à 10:04

De rien



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