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vecteurs propres
bonjour à tous,
voila j'ai un examen de matrices dans pas longtemps et je suis en période de révision
j'ai 2 questions sur les vecteurs propres :
la premiere:
on me demande de trouver les valeurs et vecteurs propres de la matrice
1 2
2 3
pour les valeurs propres, c'est pas compliqué, j'ai trouvé 2
5
dans mon cours il est écrit:
"un vecteur propre associé à la valeur propre 2+5 est la solution du systeme
x+2y=(2+5)x
2x+3y=(2+5)y
on obtient la droite vectorielle d'equation (1+5)x-2y=0
un vecteur propre est (2,1+5)=
"
je suis d'accord avec ca, mais on trouve cette droite vectorielle uniquement avec la premiere ligne du systeme, si je me suis pas trompé, avec la deuxieme ligne, on trouve un autre vecteur propre qui est (-1+5;2)
il existe donc 2 vecteurs propres pour 1 valeur propre?? voici ma premiere question
ensuite ma deuxieme question :
j'ai voulu trouver les vecteurs propres de la matrice
1 2
0 1
je trouve comme polynome caractéristique 
² -2 +1
je calcule le discriminant, il me donne 0
la seule valeur propre serait donc 1
mais pour trouver un vecteur propre en resolvant un systeme lineaire, c'est mission impossible... je me retrouve avec
x+2y=x
y=y
et bon je m'en sors pas trop... me serais-je trompé quelque part?
merci pour votre aide!!
Salut !
j'ai pas encorede cours sur valeur propre et vector propre (donc je vais peut-etre dire une conneri), mais ton systeme donne x quelconque et y=0 sa te donne donc une direction propre bien definit sa. (celle de la droite Vect(e1) )
Bonjour.
Le 2ème vecteur que tu trouves est colinéaire au premier
. C'est normal : quand tu résouds le système, sa matrice est de rang 1 par définition des valeurs propres, donc, le sous-espace associé est de dimension 1 (droite vectorielle engendrée par
).
Pour ta question 2, ton système donne : y = 0. Le sous-espace propre est la droite d'équation y = 0. Tu peux choisir comme vecteur propre.
Si tu as d'autres questions n'hésites pas.
Cordialement RR.
"sa matrice est de rang 1 par définition des valeurs propres" j'ai pas compris...
mais sinon, si on me demande par exemple de trouver tous les vecteurs propres de la matrice, je dois mettre les 2 vecteurs colineaires a chaque fois?
et sinon j'ai une derniere question, qu'est-ce exactement qu'une valeur propre réelle? parce que selon les cas, il existe 2 valeurs propres réelles, 1 seule ou aucune, donc j'aimerais savoir.
merci
E un espace de dimension n > 1. On dit que le scalaire est une valeur propre de l'endomorphisme u de E s'il existe un vecteur non nul x tel que u(x) =
x. Ceci s'écrit aussi :
: ce dernier système homogène doit posséder des solutions non nulles : le noyau de
n'est pas réduit à 0, donc le système (ou la matrice de ce système) est de rang < n. De tote façon, pour trouver le polynôme caractéristique, tu écris : det(XI - A) = 0 : le déterminant est nul, le système n'est pas de rang n.
Une valeur propre est un scalaire (un nombre) qui appartient au corps sur lequel est défini l'espace E. Par exemple si tu travailles dans un -espace vectoriel de dimension 2 et que tu trouves pour polynôme caractéristique X² + 1, il n'y aura pas de valeur propre. Par contre, si cette situation se présente dans un
espace, alors, 2 valeurs prorpes : -i et i.
Cordialement RR.
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