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Vérifier la dépendance de trois vecteurs.
On me donne les vecteurs
û1=(1;3;-2),û2=(2;-4;1),û3=(7;1;-4)
Je dois vérifier s'ils sont linéairement dépendant ou indépendants.
J'ai donc calculé le déterminant de la matrice contenant les trois vecteurs, chaque vecteur occupant une ligne de la matrice, et je trouve un déterminant nul.
On est donc en présence de trois vecteurs linéairement dépendants puisque le déterminant de la matrice vaut zéro.
Jusque là ça va...
Ensuite, on me demande de trouver la combinaison linéaire qui éxiste entre ces trois vecteurs. Elle doit forcément exister puisqu'ils sont linéairement dépendants.
Je connais la théorie qui stipule qu'il doit alors exister des réels "non tous nuls" x,y,z tel que:
x.û1 + y.û2 + z.û3 = 0
Déterminer x,y et z doit donc permettre de trouver la combinaison linéaire qui existe entre ces trois vecteurs.
Je tente de résoudre ce système:
x+2y+7z=0
3x-4y+1z=0
-2x+1y-4z=0
Et là, je ne parvient pas à le résoudre, je tourne en rond depuis deux heures, je l'ai bien recommencé quinze fois.
la combinaison linéaire est, d'après les réponses de mon cours:
3.û1 + 2.û2 -1.û3 = 0
Pouvez-vous me dire comment vous faites?
D'avance merci 
Bonjour,
Comme les vecteurs sont dépendants il y a forcément une équation qui ne sert à rien . Si tu cherches TOUTES les solutions tu vas obtenir un espace de dimension >0 .
Comme tu sais que la solution existe tu peux simplifier pas mal,
par exemple prend z = 1 , pour simplifier ton système et touve x et y . (si z= 1 ne marchait pas il faudrait prendre z=0 mais ici ça marche)
salut
en notant A, B et C des trois équations ton système est équivalent à ::
A
B-A+C
2A+C
les deux dernières ne contiennent plus x .....
si "les vexteurs u, v et w sont dépendants" alors w est conbinaison linéaire de u et v donc il existe a et b tels que w = au + bv
.... et il n'y a plus que deux inconnues au lieu de 3 ....
Bonjour.
En ligne :
1 3 -2 : i
2 -4 1 : ii
7 1 -4 : iii
ii - 2i et iii - 7i donnent :
1 3 -2
0 -10 5
0 -20 10
Tu vois ainsi apparaître la combinaison
Ce qui me déstabilise, c'est que ça marche à la fois avec z=1 et z=-1. Or dans mon cours, il n'y a que la valeur z=-1 qui soit pris en compte comme réponse. Y a t-il une raison évidente à cela?
oui je te rappelle que les solutions forment une droite donc tu en trouve aussi une avec z = 210000001118975 si tu la trouve plus jolie.
Vous avez choisi de mettre Z à 1. j'ai mis Z à une autre valeur, ça marche, j'ai compris pourquoi maintenant.
Pourquoi n'aurions-nous pas plutôt mis x à une valeur ou y à valeur à la place de z?
En d'autres termes, pourquoi avez-vous choisi d'utiliser le coefficient z au lieu des deux autres?
J'ai pu vérifier que la méthode ne fonctionne pas en mettant x à 1.
Cela signifie t-il que pour résoudre ce genre de problème, je doive "essayer" avec un coefficient, jusqu'à ce que ça fonctionne?
Encore merci.
Je ne sais pas si c'est clair dans mon message précédent, mais je voudrais savoir s'il y a une méthode systématique me permettant de savoir avec quel coefficient travailler... Merci
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