Bonsoir,

La courbe est une parabole.
Pour chaque valeur de x, la surface du disque obtenu en faisant tourner la courbe autour de 0x est s(x) = (f(x))² = (kx²-2x)² = (k²x⁴-4kx³+4x²)
Le volume est l'intégrale de cette quantité entre 0 et 1. Une primitive de s(x) est S(x) = (k²x⁵/5 - 4kx⁴/4 + 4x³/3)
Le volume cherché est S(1) - S(0). Voyant que S(0) = 0, et il reste :
V = S(1) = (k²/5 - k + 4/3)

Bonsoir le Hibou merci de me répondre.

Le mode opératoire est-il toujours le même à savoir (si j'ai bien compris)
s(x)=
puis intégrer avec les bornes choisi?

Oui, si on fait tourner la courbe autour de l'axe Ox. Ce serait différent autour de Oy.
Pour comprendre le principe, tout se passe comme si on découpait le volume en rondelles de rayon r = f(x) et d'épaisseur dx.
La surface  d'une rondelle individuelle est r² = (f(x))² et son volume est r²dx = (f(x))²dx.
Le volume total est alors la somme de tous ces volumes élémentaires, ce qui se traduit par une intégrale entre les bornes.

Cela fonctionne pour toutes les révolution autour de l'axe Ox.
Qu'en est t-il pour la troisième question la valeur minimale?
Quelle serait la différence si l'axe de rotation était Oy?
J'espère ne pas trop abusé, encore merci.

Pour la valeur minimale, tu dois chercher le minimum de :
V(k) = (k²/5 - k + 4/3)
La valeur de k pour atteindre ce minimum est obtenue en calculant V'(k) et en résolvant l'équation V'(k) = 0. Cela donne une valeur k₀ , que tu reportes ensuite dans V(k)

Si l'axe de rotation était Oy,  selon les bornes le volume aurait une drôle de forme
Il faudrait considérer la fonction dite réciproque x = f^-1(y), quand elle existe, pour l'instant on va oublier

Et tu n'abuses pas, les bénévoles dont je fais partie font ça avant tout pour le plaisir !

Donc je dérive:
Ca donnerai cela, je suis pas sûre
V(k)=
V'(k)=

C'est exact, maintenant quelle est la valeur de k qui annule V'(k) ?

Quand k =

C'est bon, il ne te reste plus qu'à reporter cette valeur dans V(k) et tu auras le volume minimum.

Le volume minimal serait de V=. Et l'unité serait?

Pourrais-tu me montrer sur un graphique ce que représente  le corps de révolution ?

Bojour,

représenter un solide sur un graphique n'est pas une mince affaire, surtout quand ce solide est composé de surfaces courbes !

il faut suffisamment d'imagination pour se représenter cet espèce de "toupie" :



la "base" étant le cercle de diamètre CD, suggéré en perspective.
une "tranche" en bleu foncé le disque de diamètre MN dont il a été question pour le calcul d'intégrale.

=> ahl1500, d'accord avec ton résultat qui se simplifie toutefois en /12
Concernant la question de l'unité, c'est un problème de mathématiques, il n'y a pas d'unité à proprement parler. Si tu transformes le problème en un problème de physique et si tu décides que 1 vaut 1 cm, alors le volume sera exprimé en cm³. Si tu décides que 1 vaut 1 m, alors le volume sera en m³.

=> mathafou, merci pur cette tentative de visualisation. J'ai cherché un outil "simple" permettant de faire du tracé 3D, et je n'ai trouvé que des usines à gaz, très puissantes mais avec une rampe d'apprentissage bien pentue

salut, avec Xcas en tapant (Geo 3-d)

plotparam([v,(5/2*v^2-2v)*cos(u),(5/2*v^2-2v)*sin(u)[u=0..2*pi,v=0..1],ustep=0.05,vstep=0.01)

n'hesitez pas à me signaler une erreur.

Bonjour Mathafou et Abl12
Merci pour ces beaux graphiques.
Donc quand il me dise de esquisser le corps du volume je dois prendre la courbe qui va de O à1?
Je demande pour l'unité car dans un exercice précédent il n'y avait pas d'unité et on m'a dit de mettre u.a pour unité d'aire.

Plus haut le Hibou tu as commencé par la courbe est une parabole, la formule s(x)= s'applique  à toutes les fonctions même si leurs représentation graphique n'est pas une parabole?

pour l'esquisse tu prends le dessin de mathafou,
tu peux rajouter qqs "cercles"
telecharge Xcas (calcul formel) pour pouvoir faire des rotations de la figure

Le corps de volume est représenté en bleu est-ce bien cela?

Ou c'est vraiment toute la toupie?

C'est toute la toupie, ce que tu as représenté est une ligne dans un espace à 2 dimensions, et le volume est à 3 dimensions.

Et merci à alb12 pour cette très belle contribution, au passage je suis allé voir ton site sur Xcas, je vais y retourner !

c'est pas très lisible vu que les 90% de l'image ne servent à rien du tout puisqu'on s'intéresse au seul morceau entre x = 0 et x = 1 !!

le corps est le solide en trois dimensions dont alb12 t'a donné une vue en perspective assez réaliste.
(avec Xcas en vrai, on peut faire pivoter la vue à la souris pour l'examiner sous toutes ses coutures)

le domaine en bleu en est juste une demi-section passant par l'axe (l'axe de ce solide de révolution étant Ox)

de la même façon que si tu coupes un cône par un plan passant par l'axe tu obtient un triangle isocèle
le cône est engendré par la rotation autour de l'axe de la moitié de ce triangle.
par exemple par la rotation du "domaine en bleu" autour de l'axe Ox



le corps c'est le cône, représenté ici à part en perspective
le domaine qui engendre le cône par rotation autour de l'axe Ox c'est le triangle OAB

avec une courbe à la place d'une droite, c'est pareil, c'est juste moins facile à dessiner "à main levée"

et pour la généralité du procédé, tu n'as qu'à l'appliquer avec f(x) = x/2 et comparer le résultat du calcul d'intégrale avec le résultat de la formule usuelle du volume d'un cône ... (de rayon 1/2 et de hauteur 1)

rectification du code Xcas:

plotparam([v,(5/2*v^2-2v)*cos(u),(5/2*v^2-2v)*sin(u)],[u=0..2*pi,v=0..1],ustep=0.05,vstep=0.01)

Pour la représentation graphique ça va mieux?
je mets du temps mais moi et les logiciels c'est pas encore tout à fait ça.
Désolée je n'arrive pas à mettre l'image à l'endroit....


malou > ***image tournée et un peu améliorée***

le dessin de mathafou de 9h57 ne te plaît pas ?

Non cela n'a rien avoir le dessin de Mathafou est très bien, c'est juste que la première question est justement d'esquisser le corps de révolution pour k=3. Je voulais savoir si cela correspondait à la question demandée .Et j'avoue j'adore construire les graphiques à la main .

tu fais le meme genre de dessin que celui de mathafou mais avec k=3 et à la main bien sur
pour le relief dessine quelques cercles en perspective

C'est un exercice que j'ai fait par curiosité, merci à vous d'avoir pris le temps  de me répondre avec tant de précision, on apprend jamais assez.
Passez une bonne nuit à bientôt.

il fut un temps où ce genre d'exercice etait au programme de terminale
(application du calcul integral)

Il ne l'étudie plus au lycée? Dommage je me suis amusée à le faire et c'est pas si compliqué.

C'est un examen de maturité suisse l'équivalent du bac, mais le cursus scolaire est complètement différent de la France. Ils peuvent passer leurs maturité à 21 ans en même temps que leurs apprentissage ainsi ils obtiennent un certificat de capacité fédérale (CFC) et leurs bac.

Si vous avez d'autres exercices dans ce genre, je suis preneuse

on peut le faire en approfondissement en terminaleS en France