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Volume d un paraboloïde - suites et récurrence
Soit la fonction définie sur
par
.
sa courbe représentataive dans un repère orthonormal
, d'unité 1cm et
son sommet.
On considère le paraboloïde engendré par la rotation de la courbe autour de l'axe des abscisses.
On se propose de déterminer le volume de ce solide à l'aide d'encadrements et de suites.
étant un entier naturel supérieur ou égal à 2, on coupe le solide suivant
plans équidistants parallèles à sa base.
On considère :
- La somme des volumes des cylindres engendrés pas la rotation des
rectangles verts ;
- La somme des volumes des cylindres engendrés pas la rotation des
rectangles bleus.
1° Comparer les nombres ,
,
.
2° Quelle est la hauteur de chacun des cylindres ?
3° a) Montrer que :
.
b) Exprimer en fonction de
et de
pour
entier dans
.
En déduire que .
4° Par un même raisonnement, exprimer en fonction de
.
5° Déterminer la limite de et celle de
lorsque
tend vers
.
En déduire le volume du paraboloïde.
----------------
avec ça on a 2 images, l'une est représentatrice de la fonction f, l'autre est jointe avec ce post.
----------------
J'ai compris que la hauteur de chaque cylindre c'était .
En fait si on regarde déjà la fin de l'exo, on remarque que plus le découpe la forme avec de plus en plus de cylindre, on s'approche en fait de la valeur du volume.
Donc dans la formule qu'il faut expliquer on met en facteur et la hauteur, ce qui explique déjà une partie, ensuite on prend le premier rayon qui est forcément 3, d'où le
, ensuite le rayon suivant c'est celui issu du deuxième cylindre sur la figure (en supposant dans notre cas qu'on a découpé en 9 cylindres la grande partie verte), d'où le
.
Ensuite ça se complique, pour avoir le rayon des autres cylindre, il faut chercher ce que vaut x à chaque fois, jusqu'à arriver à , il faut ici multiplier respectivement la hauteur de chaque cylindre , par la position de ce cylindre
jusqu'à arriver à
, d'où le fait que
soit supérieur ou égal à 2.
Voilà tout ce que j'ai su trouver, le reste je ne vois pas trop comment m'y prendre, à part la question 5 qui m'a l'air évidente, on obtient
Si vous pouviez m'aider je vous en seras très reconnaissant.
Bonsoir,
Par les n rectangles verts on partage la hauteur totale 9 en n parties égales donc comme vous l'avez bien compris la hauteur de chaque rectangle est .
Le volume des cylindres est R2 h.
h=.
Reste à trouver R.
La valeur de R dépend du rectangle, c'est en fait l'image par f de chacune des n valeurs de x où les plans parallèles à la base coupent le paraboloïde en y ajoutant x=0.
La découpe de la hauteur totale 9 en n parties égales donne les abscisses suivantes
.
2 .
3 .
4 .
etc jusqu'à
(n-1) .
Je pense que maintenant vous pouvez terminer seul car connaissant les rayons vous écrirez les volumes des n cylindres verts. Ne pas oublier que le premier rayon est f(0) et le dernier est [(n-1)
].
Il faudra utiliser la formule 1+2+3+4+ ...+n=
Pour le 4°) on peut remarquer que Bn c'est An moins le volume du plus grand cylindre vert ainsi on évite de refaire des calculs.
pas de problème pour les limites qui valent bien
Merci pour cette réponse, mais je ne vois toujours pas quoi mettre en 3°b), si vous pouviez m'éclairer...
=?
donc
= 9 -
= 9 (1-
) = 9 (
)=
(n-k)
Ensuite faites varier k de 0 à (n-1) et sommer le tout. Ainsi en multipliant le résultat trouvé par et en appliquant la formule que j'ai rappelé vous trouverez An
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