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volume de l'intersection de deux cones droits
Bonjour,
je suis nul en géométrie et j'ai le problème suivant:
j'ai deux cones droits, construits avec les équations suivantes
(1) (x-x1)^2+(y-y1)^2=(t-t1)^2 (double cone droit de sommet (x1,y1,t1))
(2) (x-x2)^2+(y-y2)^2=(t-t2)^2 (double cone droit de sommet (x2,y2,t2))
bien sûr x1, x2, y1, y2, t1 et t2 sont des constantes.
Je veux calculer le volume de l'intersection de ces deux cônes dans le cas bien précis où:
(3) (x1-x2)^2+(y1-y2)^2<=(t1-t2)^2
C'est à dire, graphiquement, que chaque sommet est 'à l'intérieur' de l'autre cone.
J'espère que quelqu'un pourra me répondre, car cela me semble pas si difficile à faire, mais je n'y arrive pas.
J'ai des pistes et même une formule qui semble être bonne (testée graphiquement), mais c'est du bricolage (je pourrai vous en faire part si vous le désirez), alors que j'ai besoin d'une démarche rigoureuse qui aboutit à la formule.
Merci par avance !
Bonjour.
Les 2 cônes sont parallèles, donc leur intersection a un volume infini.
Comme leurs sommets sont l'un dans l'autre,
leur intersection est la réunion des 2 demi-cônes extrêmes.
Oublie la réponse précédente,
mais quand on dit cônes, je pense aux cônes de lumières.
Dommage qu'on ne puisse pas modifier ses post.
Bonjour,
Le volume à calculer ne dépend que de la position relative des deux cônes, pas du système d'axes. Pour simplifier les écritures, on va se placer dans un système d'axes (OX,OY,OT) tel que la symétrie soit respectée :
Les sommets des cônes étant S1 et S2, l'origine (O) est prise au milieu du segment S1S2. De plus, l'axe OX est pris tel que S1 et S2 soient dans le plan (OX,OT ) .
La figure montre cette disposition. Toutefois, l'axe OY, perpendiculaire à ce plan, n'est pas représenté pour ne pas surcharger.
La figure donne des indications pour le calcul (à vérifier, bien entedu...)
@ flaja : merci pour ta réponse, je n'ai pas tout compris, il est vrai que le volume est infini, mais comme l'a très bien compris JJa, c'est l'intersection finie des deux cônes opposés qui m'intéresse.
@ JJa : merci pour ta rapidité et pour la qualité de ta réponse !
Ta réponse me semble parfaite, je cogite dessus pour tout comprendre; j'aurais pour ce faire une petite question : L'intersection est bien une ellipse (un segment ou un cercle dans les cas dégénérés), mais comment le savons-nous ? pourquoi est-ce une ellipse ? est-ce une conséquence directe des deux équations ?
Merci encore
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