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Vrai Faux suites
Bonjour, j'ai un vrai ou faux que j'essaye de faire, mais je ne suis pas sûre de mes réponses et si elles sont suffisantes comme justification :
1. Deux suites convergentes ayant la même limite sont adjacentes : FAUX
On sait que deux suites sont adjacentes, si l'une est croissante et l'autre décroissante, et que leur différence converge vers à. Or, deux suites peuvent être convergentes et avoir la même limite sans que l' une des suites soit croissante et l' autre décroissante. On peut avoir deux suites croissantes qui ont la même limite comme par exemple :
Un = (2n+5) / (n+1)
Vn = (2n+4)/(n+1)
où lim (Un) = lim (Vn) = 2 avec (Un) et (Vn) croissantes.
De plus , la différence de deux suites ayant une même limite n'est pas forcément convergent vers 0 .. Ici, la différence Un - Vn converge vers 1 .
Donc, elles ne sont pas adjacentes bien qu'elles soient convergentes et ayant la même limite.
2) Si (Un) est croissante, (Vn) décroissante et si ces suites convergent, alors elles sont adjacentes . FAUX
On note Un = (2n+5)/(n+1) et Vn = (-2n+4)/(n+1)
(Un) est bien croissante et (Vn) décroissante. Or, leur différence, Vn- Un converge vers 4. Elles ne sont donc pas adjacentes.
3) Si (Un) est croissante et convergente et si , pour tout entier naturel n, Vn= -Un, alors les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes. FAUX
On note , Un = , une suite croissante et convergente et Vn = -Un donc Vn =
La différence Vn -Un converge vers -4. Donc elles ne sont pas adjacentes.
4. Toute suite croissante et convergente est majorée. VRAI
Comment prouver ?
5.Toute suite convergente et majorée est croissante. FAUX
Une suite (Un) peut être convergente et majorée sans pour autant être croissante.
Par exemple: si on note Un = avec premier terme U0 = 1 . La suite converge vers -2. Elle est majorée par M = 1. Or, c'est une suite décroissante.
6. Toute suite croissante est minorée. VRAI
Comment montrer ?
7. Si la suite (Un) est croissante et strictement positive, alors la suite ( 1/ Un) est convergente.
VRAI
Une suite croissante et strictement positive tend vers + infini, et lorsque n tend vers + infini , lim (1/ Un ) = 0 , donc la suite est 1/Un est convergente.
Bonjour
1. Non, si deux suites ont la même limite, leur différence tend bien vers 0. Tu t'es trompée dans le calcul.
2. OK
3. OK
4. Oui, c'est vrai, et en principe c'est fait dans le cours. Si ce n'est pas le cas, montre en utilisant la définition que si une suite tend vers elle est majorée par
.
5. OK
6. Montre que est un minorant.
7. Il se peut qu'une suite croissante strictement positive tende vers une limite . Dans ce cas aussi
admet une limite, mais il faut préciser.
d'accord,
donc pour 1) si je garde que cette partie , c'est suffisant pour dire que c'est faux ? : On sait que deux suites sont adjacentes, si l'une est croissante et l'autre décroissante, et que leur différence converge vers à. Or, deux suites peuvent être convergentes et avoir la même limite sans que l' une des suites soit croissante et l' autre décroissante. On peut avoir deux suites croissantes qui ont la même limite comme par exemple :
Un = (2n+5) / (n+1)
Vn = (2n+4)/(n+1)
où lim (Un) = lim (Vn) = 2 avec (Un) et (Vn) croissantes.
6) j'ai compris
7) je n'ai pas très bien compris :/
Sauf que les suites Un = (2n+5) / (n+1) et Vn = (2n+4)/(n+1) ne sont pas croissantes mais décroissantes.
7. C'est vrai, mais tu dois envisager deux cas. Celui où ça tend vers une limite finie, et celui où ça tend vers l'infini.
Ah donc si Un tend vers un nombre a , la limite de (1 / Un ) sera (1/ a ) donc un nombre réel.
Et lorsque Un tend vers + infini, la limite sera 0.
Donc Vrai.
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