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Vrai/Faux sur les suites TS

Posté par Mila (invité) 03-02-06 à 02:41

Bonsoir, je sais qu'il est tard (ou tôt ça dépend...) c'est à bout de nerf que je me permets de vous demander de l'aide :'(

Alors voilà l'objet du délit:

On considère la suite U définie pour n a^^artenant à N par
U₀=0 et U_n+1= $\frac{3}{4-U_n}$

Soit V la suite définie pour n de N, V_n= $\frac{U_n-1}{U_n-3}$
On considère enfin la suite W définie pour n de N par W_n=ln(V_n)

On admet que u, v, w sont bien définies.
Répondre par Vrai ou faux (en justifiant)

a) Quel que soit n de N, V_n= $\frac{1}{3^{n+1}}$
Pour celle ci certes je trouve que V est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ , mais je ne suis pas sûre de mon résultat, soit:
Avec V₀= $\frac{1}{3}$
et V_n= $V_0 \times q^n$
d'où V_n= $\frac{1}{3}$ , et ce serait donc faux...

b) W est une suite arithmétique dont la raison est égale au premier terme...
Compte tenu de ce que j'ai trouvé pour Vn, je répondrais volontiers vrai... mais bon pas certaine une fois de plus...

c)Par contre, celle là je suis absolument perdue
Soit n appartient à N,
ln( $V_0 \times V_1 \times ...\times V_n)=-(n+1)(n+2)ln(\sqrt{3})$

d)La suite u est convergente... J'avoue j'ai même pas eu le courage de le faire.... En même tps je ne vois pas tp comment^^

Voilà, merci d'avance à tous....

Posté par re : Vrai/Faux sur les suites TS 03-02-06 à 03:42

Bonjour,

a) Je ne comprends pas ta conclusion, alors que le début de ton raisonnement est juste.
Tu écris : V(0) = 1/3 --> OK
Tu écris : V(n) = V(0).q^n --> OK
D'où V(n) = 1/3 -- > non !
V(n) = V(0).q^n = (1/3).(1/3)^n = 1/(3^(n+1))
VRAI

b) W est arithmétique de raison -ln(3)

c) Il suffit de dérouler les calculs
$\ln(V_0*...*V_n)$
$= \ln V_0 +...+\ln V_n$
$= \ln V_0 +...+\ln V_0q^n$
$= \ln V_0 +...+(\ln V_0 + n\ln q)$
$= (n+1)\ln V_0 + (1+...+n)\ln q$
$= -(n+1)\ln 3 -\frac{n(n+1)}{2}\ln 3$
$= -2(n+1)\ln\sqrt{3} -n(n+1)\ln\sqrt{3}$
$= -(n+1)(n+2)\ln\sqrt{3}$

d) On sait que :
$V_n=\frac{1}{3^{n+1}}\to 0$
Il suffit d'exprimer $U_n$ en fonction de $V_n$
Or $V_n=\frac{U_n-1}{U_n-3}$
Produit en croix : c'est une équation du premier degré en $U_n$ :
$U_n=\frac{1-3V_n}{1-V_n}\to 1$

Nicolas

Posté par Mila (invité)re : Vrai/Faux sur les suites TS 03-02-06 à 03:52

Un grand Merci ....
Je vais m'y remettre de ce pas... Encore merci ^^ et bonne soirée ... du moins ce qu'il en reste

Posté par re : Vrai/Faux sur les suites TS 03-02-06 à 04:02

Je t'en prie.
Pour moi, c'est le matin.
Je dois me déconnecter. Bon courage.

Nicolas

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