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z=(1+ix)/(1-ix

Posté par
kiddo14 12-09-23 à 22:55

* Modération >   *** Bonjour *** *

j'ai pas arrivé à resoudre cette question
On note U l?ensemble des nombres complexes de module 1, Montrer que :
?z ? C, (z ? U \ {?1} ? ?x ? R/ z = (1+ix)/(1-ix)

Posté par
lakere : z=(1+ix)/(1-ix 12-09-23 à 23:59

Bonsoir,
Si a est un réel différent de (2k+1)\pi, tu peux montrer que :

e^{ia}=\dfrac{1-i\tan\dfrac{a}{2}}{1+i\tan\dfrac{a}{2}}

Posté par
lakere : z=(1+ix)/(1-ix 13-09-23 à 00:56

Avec des erreurs de signes que tu rectifieras sans peine ...

Posté par
carpediemre : z=(1+ix)/(1-ix 13-09-23 à 10:01

salut

que faut-il montrer ? (parce que c'est illisible)

Posté par
lakere : z=(1+ix)/(1-ix 13-09-23 à 12:40

Bonjour,
Hier soir, c'était encore tout à fait lisible.
Il semble que le Bonjour bleu a fichu la pagaille
>>kiddo14 :
L'affaire se résume à e^{ia}=\dfrac{e^{i\frac{a}{2}}}{e^{-i\frac{a}{2}}}

Posté par
carpediemre : z=(1+ix)/(1-ix 13-09-23 à 12:59

merci lake

est-il besoin de passer par l'exponentielle complexe si je comprends bien ce que je dois comprendre (si x est réel) ?

Posté par
Ulmierere : z=(1+ix)/(1-ix 13-09-23 à 13:26

J'écris l'énoncé tel que je l'ai lu hier, avec quelques améliorations

Citation :
On note \U l'ensemble des nombres complexes de module 1.
Soit z\in\C. Montrer l'équivalence z\in\U\setminus\{-1\} \iff \exists x\in\R : z = \dfrac{1+ix}{1-ix}


Mon conseil : commencer par le sens \boxed{\Leftarrow}, en calculant le module de (1+ix)/(1-ix) pour tout x réel et en vérifiant que ce complexe ne peut pas être égal à -1.
Ensuite, traiter le sens \boxed{\Rightarrow} en exprimant x en fonction de z

Posté par
lakere : z=(1+ix)/(1-ix 13-09-23 à 13:32

>>carpediem :
Passer par l'exponentielle complexe donne une preuve par équivalences en une ligne.

Posté par
carpediemre : z=(1+ix)/(1-ix 13-09-23 à 13:38

merci pour l'énoncé

oui pour l'exponentielle ...

mais c'est aussi un bon exercice sans l'utiliser mais bien sûr un peu plus long et fastidieux

Posté par AitOuglifre : z=(1+ix)/(1-ix 13-09-23 à 22:00

Bonsoir

On peut aussi montrer à la main que l'application de \R dans U \backslash\lbrace{-1}\rbrace qui envoie un réel x  sur \frac{1+ix}{1-ix} est définie et surjective, ça se fait bien…


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