Bonsoir,
Attention à la définition de l'ordre d'un sous-groupe , c'est le nombre d'éléments de celui-ci.
As-tu des résultats sur la structure de corps de ?

salut

...

Un polynome de degré 3 admet au plus 3 racines

D'ailleurs c'est toujours vrai ce que je dis?

Ah ok donc il fallait dire que comme Z/pZ est un corps parce que p est premier alors le polynôme x³-1 de Z/pZ[x] admet au plus 3 racines et donc ker(ϕ) a au plus 3 éléments

lionel52 non par exemple dans Z/8Z et si P=x²-1Z/8Z[x] ce polynôme admet 4 racines : 1 3 5 7 alors qu'il est de degré 2 parce que Z/8Z n'est pas un anneau intègre
Merci pour l'aide

C'est toujours vrai dans un corps, ou dans un anneau commutatif intègre.
Dans l'algèbre à division des quaternions, ce n'est pas vrai. Dans , ce n'est pas vrai.

Bonjour,

Une autre méthode est de dire que s'il y avait plus de 4 éléments, on en aurait un d'ordre plus de 3 strictement. Car le noyau est cyclique, comme sous-groupe d'un groupe cyclique, et donc un de ses générateurs est d'ordre plus de 4...

Bonsoir, la fin de l'exo :
2) Montrer que si alors |ker(ϕ)|=1, et si p≡1[mod 3] alors |ker(ϕ)|=3
3) Enfin, on note et , montrer que si p≡1[mod 3], alors est l'ensemble des éléments tels que .

2)
Si , |ker(ϕ)|{1,2}
Mais si |ker(ϕ)|=2, il existe un x dans Z/pZ* tel que ker(ϕ)={1,x} mais comme ker(ϕ) est un groupe x²ker(ϕ) et donc x=-1 mais x³=-1 donc xker(ϕ) et donc ker(ϕ)={1}

Si p≡1[mod 3] alors (d'après un lemme du cours) il existe un élément x d'ordre 3 (x1 car 1 est d'ordre 1) et puisque ker(ϕ) est un groupe x²ker(ϕ) et donc ker(ϕ)={1,x,x²}

3)
Si p-1 est divisible par 3,
soit tel que y=x³
alors y^(p-1)/3=x^p-1=1