Théorème de Stone-Weierstrass (encyclopédie mathématiques)

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En mathématiques, le théorème de Stone-Weierstrass est une généralisation du théorème d'approximation de Weierstrass en analyse réelle, selon lequel toute fonction continue définie sur un segment peut être approchée uniformément par des fonctions polynômes.

La généralisation par Marshall Stone (en) étend ce résultat aux fonctions continues définies sur un espace compact et à valeurs réelles, en remplaçant l'algèbre des polynômes par une algèbre de fonctions qui sépare les points et contient au moins une fonction constante non nulle. Sa démonstration présentait en outre l'intérêt de simplifier celle du théorème initial.

Sommaire

[modifier] Théorème d'approximation de Weierstrass

Supposons que f soit une fonction continue définie sur l'intervalle [a,b] à valeurs réelles. Pour tout ε>0, il existe une fonction polynôme p à coefficients réels telle que |f(x) - p(x)| < ε pour tout x dans [a,b].

Cette propriété peut également s'exprimer sous la forme suivante : si f est une fonction continue sur [a,b], il existe une suite $(P n)$ de polynômes convergeant uniformément vers f sur [a,b]. Ci-dessous par exemple, la suite de polynômes converge vers la valeur absolue sur l'intervalle [-1,1].

Suite de polynômes convergeant vers la valeur absolue

En se ramenant par changement de variables à l'intervalle [0,1], Bernstein en a donné une démonstration^[1] constructive en prouvant qu'on pouvait prendre :

$P_n(x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac kn\right)B^n_k(x)$

où les $B^n_k(x) = {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k}$ sont les polynômes de Bernstein.

L'ensemble C([a,b]) des fonctions à valeurs réelles et continues sur [a,b], muni de la norme infinie $||f||=\sup_{x\in [a,b]} |f(x)|$ , est une algèbre de Banach (i.e. une algèbre associative sur R et un espace de Banach telle que ||f g|| ≤ ||f|| ||g|| pour tout f et g). L'ensemble des fonctions polynomiales forme une sous-algèbre de C([a,b]) et le théorème d'approximation de Weierstrass affirme que cette sous-algèbre est dense dans C([a,b]).

[modifier] Autres versions et généralisations

[modifier] Version trigonométrique

Pour toute fonction f continue T-périodique, il existe une suite $(T n)$ de polynômes trigonométriques qui convergent uniformément vers f.

Issu de la théorie des séries de Fourier, le théorème de Fejér donne un exemple constructif d'une telle suite.

[modifier] Loi des grands nombres

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $(n, x)$ , alors $P n (x)$ est l'espérance de $f (X / n)$ , c'est-à-dire la moyenne de $f$ appliquée au nombre de succès de $n$ expériences indépendantes de probabilité $x$ . La convergence ponctuelle de $P n (x)$ vers $f (x)$ pour tout $x$ est une conséquence de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre $X / n$ et $x$ , on en déduit la convergence uniforme de $P n$ vers $f$ .

[modifier] Version algébrique

Le théorème d'approximation se généralise dans deux directions :

L'intervalle compact [a,b] peut être remplacé par un espace séparé ou espace de Hausdorff compact X.
L'algèbre des fonctions polynomiales peut être remplacé par une autre sous-algèbre A de C(X) à condition qu'elle vérifie une propriété cruciale qui est de séparer les points (un sous-ensemble A de C(X) sépare les points si pour tout couple de points différents x et y de X, il existe une fonction p de A telle que p(x) ≠ p(y) ).

Dans ce cadre, le théorème s'écrit formellement :

si X est un espace de Hausdorff compact ayant au moins deux éléments, et si A est une sous-algèbre de l'algèbre de Banach C(X) qui sépare les points et contient une fonction constante non nulle, alors A est dense dans C(X).

Puisque les polynômes sur [a,b] forment une sous-algèbre de C([a,b]) qui sépare les points, le théorème de Weierstrass est une conséquence du résultat précédent.

Le corps des nombres réels peut être remplacé par celui des complexes à condition de supposer que $A$ est auto-adjoint, soit $g\in A \Rightarrow \bar g\in A$ .

[modifier] Applications

Le théorème de Stone-Weierstrass permet de démontrer les trois propositions suivantes :

si f est une fonction continue à valeurs réelles définie sur le pavé [a,b] x [c,d] et si ε est réel strictement positif, alors il existe une fonction polynomiale p à deux variables telle que pour tous x dans [a,b] et y dans [c,d], |f(x,y) - p(x,y)| < ε.
si X et Y sont deux espaces de Hausdorff compacts et si f:X×Y→ℝ est une fonction continue, alors pour tout ε>0 il existe n>0 et des fonctions continues f₁, f₂, …, f_n sur X et des fonctions continues g₁, g₂, …, g_n sur Y telles que ||f - ∑f_ig_i|| < ε
Si une fonction réelle $f$ continue sur [0,1] est telle que

$\forall p\in\N,~\int_0^1t^pf(t)~\mathrm dt=0,$

alors $f$ est identiquement nulle.

Certains résultats valables pour des fonctions continues peuvent être ramenés au cas de fonctions indéfiniment dérivables en utilisant le théorème de Stone-Weierstrass. C'est ainsi qu'on obtient une démonstration du théorème du point fixe de Brouwer en utilisant le théorème de Stokes.

[modifier] Version treillis

Soit X un espace de Hausdorff compact. Un sous-ensemble L de C(X) est appelé un treillis de C(X) si pour deux éléments quelconques f, g de L, les fonctions max(f,g) et min(f,g) appartiennent aussi à L. La version treillis du théorème de Stone-Weierstrass affirme que :

si X est un espace de Hausdorff compact avec au moins deux points et si L est un treillis de C(X) qui sépare les points, alors L est dense dans C(X).

[modifier] Voir aussi

Théorème de Chudnovsky
Approximation de Bernstein
Théorème de Mergelyan
Théorème de Runge

[modifier] Notes et références

↑ S. N. Bernstein, Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités, Commun. Soc. Math. Kharkov 13 (1912-1913) 1-2

Théorème de Stone-Weierstrass