Topologie grossière

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En mathématiques, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble est une topologie où les seuls ouverts sont l'ensemble vide et l'espace lui-même.

Cette topologie est la moins fine de toutes les topologies qu'il est possible de définir sur un ensemble. Intuitivement, tous les points de l'espace topologique ainsi créé sont « groupés ensemble Â» et ne peuvent pas être distingués du point de vue topologique.

[modifier] Définition

Soit X un ensemble. L'ensemble {X, Ø} définit une topologie sur X appelée topologie grossière.

[modifier] Propriétés

La topologie grossière est la topologie possédant le moins d'ouverts qu'il soit possible de définir sur un ensemble X, la définition d'une topologie supposant précisément que X et l'ensemble vide font partie de ces ouverts.

Parmi les autres propriétés d'un tel espace topologique X :

• Les seuls fermés sont l'ensemble vide et X.
• La seule base possible de la topologie grossière sur X est {X}.
• Si X a au moins deux éléments, ce n'est pas un espace séparé, ni même un espace de Kolmogorov. A fortiori, il n'est pas régulier.
• En revanche, il vérifie les axiomes de séparation T_{3 1/2} (donc aussi T₃) et T₄.
• N'étant pas séparé, X n'est ni une topologie d'ordre, ni métrisable.
• X est quasi-compact.
• Toute fonction dont l'ensemble de définition est un espace topologique et l'ensemble d'arrivée X est continue.
• X est connexe.
• Tout point de X admet une base dénombrable, X est à base dénombrable et séparable.
• Tout sous-espace de X possède la topologie grossière.
• Tout espace quotient de X possède la topologie grossière.
• Sur tout produit cartésien d'espaces topologiquement grossiers, la topologie produit est la topologie grossière.
• Toute suite de X converge vers tout point de X. En particulier, toute suite possède une sous-suite convergente (la suite elle-même) et X est donc séquentiellement compact.
• L'intérieur de tout sous-ensemble de X, à l'exception de X lui-même, est vide.
• L'adhérence de tout sous-ensemble non-vide de X est X. Tout sous-ensemble non-vide de X est donc dense dans X, une propriété qui caractérise les espaces topologiquement grossiers.
• Si S est un sous-ensemble de X ayant au moins deux points, tout élément de X est un point d'accumulation de S. Si S est formé d'un seul point, ses points d'accumulation sont exactement les autres points de X.
• X est un espace de Baire.
• Deux espaces grossièrement topologiques sont homéomorphes si et seulement s'ils ont même cardinalité.

[modifier] Voir aussi

• Topologie
• Topologie discrète