Topologie produit

Topologie produit : encyclopédie mathématiques

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La topologie produit est une topologie définie sur un produit d'espaces topologiques. C'est de manière générale la topologie faible associée aux projections de l'espace produit vers chacun de ses facteurs: autrement dit c'est la topologie la moins fine rendant les projections continues.

[modifier] Cas du produit fini

Dans le cas du produit fini, la topologie produit permet notamment de définir une topologie naturelle sur $\mathbb{R}^n$ à partir de celle de $\mathbb{R}$ .

Si $X 1 .. X n$ sont des espaces topologiques, $U$ est un ouvert de $X=\prod_{i=1}^n X_i$ si et seulement si $\forall x\in U$ il existe $U 1 .. U n$ ouverts respectifs de $X 1 .. X n$ tels que $x\in U_1\times ..\times U_n$ et $U_1\times ..\times U_n\subset U$ . Autrement dit un ouvert du produit est une réunion de produits d'ouverts des facteurs.

On peut vérifier que cette définition rend les projections continues (on verra dans la partie suivante que ceci caractérise en fait la topologie produit), et que le projeté d'un ouvert est un ouvert. Par contre, le projeté d'un fermé n'est pas fermé. Par exemple, l'ensemble $\mathcal{H}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2, xy=1\}$ est fermé de $\mathbb{R}^2$ (c'est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue), mais sa projection sur l'axe des x n'est pas fermée (c'est en effet $\mathbb{R}^*$ ).

[modifier] Cas général

Soit $(X_i,\tau_i)_{i\in I}$ une famille quelconque d'espaces topologiques, le produit des $X i$ est noté $X$ . La topologie produit est la topologie la moins fine rendant les projections $p_i: X\rightarrow X_i$ continues: sa prébase est donc l'ensemble des $p_i^{-1}(U_i)$ , $U i$ ouvert de $X i$ , $i\in I$ , autrement dit c'est:

$\{U_i\times\prod_{j\in I, j\ne i} X_j, U_i\in\tau_i, i\in I\}$ .

Une base de la topologie produit est alors formée par l'ensemble des intersections finies d'éléments de la prébase; en remarquant que si $i\ne j$ alors $(U_i\times\prod_{k\in I, k\ne i} X_k) \bigcap (U_j\times\prod_{k\in I, k\ne j} X_k)=U_i\times U_j\times\prod_{k\in I, k\not\in \{i,j\}} X_k$ , on voit alors qu'une base de la topologie produit est:

$\{\prod_{k=1}^n U_{i_k}\times\prod_{j\in I, j\not\in\{i_1..i_n\}} X_j, U_{i_1}\in\tau_{i_1}.. U_{i_n}\in\tau_{i_n}, i_1..i_n\in I, n\in \mathbb{N}\}$

On déduit alors aisément le cas fini en remarquant que les espaces $X 1 .. X n$ sont des ouverts, et que réciproquement tout produit d'ouverts de $X 1 .. X n$ est forcément fini! Par contre dans le cas du produit infini, la base est constituée de produits d'un nombre fini d'ouverts avec les espaces restants: un produit infini d'ouverts n'est pas a priori ouvert.

[modifier] Propriétés importantes

Soit $X$ le produit des $X_i, i\in I$ , $Y$ un espace topologique. $f:Y\rightarrow X$ est continue ssi $\forall i\in I, p_i\circ f$ est continue (pour le prouver, utiliser la caractérisation de la continuité via une prébase d'ouverts).

De plus, on remarque que dans la topologie produit, dire que $(x^n)_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers $y=(y_i)_{i\in I}$ équivaut à: $\forall i \in I$ , $(x^n_i)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $y i$ . Lorsque les $X i$ sont tous égaux à $X 0$ , le produit des $X i$ est en fait l'ensemble des applications de $I$ dans $X 0$ (d'où la notation $X_0^i$ ). La suite $(x n)$ précédente est alors une suite de fonctions $f n$ qui converge simplement vers la fonction $g:i\mapsto y_i$ . On peut résumer ceci en disant que la topologie produit est la topologie de la convergence simple.

Enfin, un des théorèmes les plus importants concernant la topologie produit est le théorème de Tychonov qui assure qu'un produit de compacts est compact pour cette topologie.