Topologie produit (encyclopédie mathématiques)

En mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie produit est une topologie définie sur un produit d'espaces topologiques. C'est de manière générale la topologie faible associée aux projections de l'espace produit vers chacun de ses facteurs : autrement dit c'est la topologie la moins fine rendant les projections continues.

[modifier] Cas du produit fini

Dans le cas du produit fini, la topologie produit permet notamment de définir une topologie naturelle sur ℝⁿ à partir de celle de ℝ.

Si $X_1..X_n$ sont des espaces topologiques, $U$ est un ouvert de $X=\prod_{i=1}^n X_i$ si et seulement si $\forall x\in U$ il existe $U_1..U_n$ ouverts respectifs de $X_1..X_n$ tels que $x\in U_1\times ..\times U_n$ et $U_1\times ..\times U_n\subset U$ . Autrement dit un ouvert du produit est une réunion de produits d'ouverts des facteurs.

On peut vérifier que cette définition rend les projections continues (on verra dans la partie suivante que ceci caractérise en fait la topologie produit), et que le projeté d'un ouvert est un ouvert. Par contre, le projeté d'un fermé n'est pas fermé. Par exemple, l'ensemble $\mathcal{H}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2, xy=1\}$ est fermé de ℝ² (c'est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue), mais sa projection sur l'axe des x n'est pas fermée (c'est en effet ℝ*).

[modifier] Cas général

La description ci-dessous montre que la topologie produit est un cas particulier de topologie initiale.

Soit $(X_i,\tau_i)_{i\in I}$ une famille quelconque d'espaces topologiques, le produit des $X_i$ est noté $X$ . La topologie produit est la topologie la moins fine rendant les projections $p_i: X\rightarrow X_i$ continues : une prébase est donc l'ensemble des $p_i^{-1}(U_i)$ , $U_i$ ouvert de $X_i$ , $i\in I$ , autrement dit c'est :

$\{U_i\times\prod_{j\in I, j\ne i} X_j, U_i\in\tau_i, i\in I\}$ .

Une base de la topologie produit est alors formée par l'ensemble des intersections finies d'éléments de la prébase; en remarquant que si $i\ne j$ alors $(U_i\times\prod_{k\in I, k\ne i} X_k) \bigcap (U_j\times\prod_{k\in I, k\ne j} X_k)=U_i\times U_j\times\prod_{k\in I, k\not\in \{i,j\}} X_k$ , on voit alors qu'une base de la topologie produit est:

$\{\prod_{k=1}^n U_{i_k}\times\prod_{j\in I, j\not\in\{i_1..i_n\}} X_j, U_{i_1}\in\tau_{i_1}.. U_{i_n}\in\tau_{i_n}, i_1..i_n\in I, n\in \mathbb{N}\}$

On déduit alors aisément le cas fini en remarquant que les espaces $X_1..X_n$ sont des ouverts, et que réciproquement tout produit d'ouverts de $X_1..X_n$ est forcément fini ! Par contre dans le cas du produit infini, la base est constituée de produits d'un nombre fini d'ouverts avec les espaces restants, et un produit infini d'ouverts non vides n'est jamais ouvert si un nombre infini de ces ouverts sont différents des $X_i$ .

[modifier] Propriétés importantes

Soit $X$ le produit des $X_i, i\in I$ , $Y$ un espace topologique. $f:Y\rightarrow X$ est continue si et seulement si $\forall i\in I, p_i\circ f$ est continue (pour le prouver, on peut utiliser la caractérisation de la continuité via une prébase d'ouverts).
Soit X un espace topologique et I un ensemble. $X^I$ n'est autre que le produit cartésien $\prod_{i\in I} X$ de même espace X. Une suite de fonctions de I dans X converge pour la topologie produit si et seulement si elle converge simplement. On peut résumer ceci en disant que la topologie produit est la topologie de la convergence simple.
Un produit fini ou dénombrable d'espaces métrisables est métrisable.
Un produit quelconque d'espaces uniformisables est uniformisable.
Enfin, un des théorèmes les plus importants concernant la topologie produit est le théorème de Tychonov qui assure qu'un produit de compacts est compact pour cette topologie.

Topologie produit

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