bonjour,
Peux-tu être plus précis dans ton énoncé?
J'ai fait plusieurs essais: 3 est bien un nombre premier, tel que 4p-3 soit un carré, mais je n'arrive pas à voir ce qu'est l'entier n.

Bonjour

L'énoncé est comme je l'ai donné.

ce que ne saisi pas, c'est le statut de n.
Doit-on lire:
Soit p un nombre premier tel qu'il existe un entier n vérifiant: ... et dans ce cas 4p-3 est un carré.
OU
soit p un nombre premier tel que pour tout entier n vérifiant: ...
Je vais partir du fait que cet entier n existe et je regarde durant la promenade du petit.

Je n'en sais pas plus désolé

Déjà on peut dire :



Donc p divise l'un au moins des termes. Mais on peut pas avoir p divise n-1 et n divise p-1 donc p divise n²+n+1.

Alors n²+n+1 = k.p

Ensuite...

Je sais pas si ce que j'ai fait tiens debout

Si p divise n-1 alors pk=n-1
Si n divise p-1 alors nk'=p-1

En faisant la différence des deux égalités on a : pk-nk'=n-p

D'où : p(k+1)=n(1+k')[1]

Or si p>2 alors p est impair car p est premier donc p-1 est pair et comme n divise p-1 alors n est nécessairement pair et donc n(1+k') est pair.

Donc d'après [1] on aurait p|n(1+k') mais c'est impossible car p impair.

Donc p ne divise par n-1 donc p divise n²+n+1.

C'est juste ?

Si ce que j'ai fait jusqu'à maintenant est juste, je pense avoir une piste pour continuer

Quelqu'un peut confirmer/infirmer ?

Merci

Up

Bon je vous mets la suite :

p divise n²+n+1 donc il existe v tel que pv = n²+n+1

Ensuite j'ai fait des choses bizarres pour montrer que v=1 auquel cas on aurait p=n²+n+1 et donc 4p-3 = 4n²+4n+1 = (2n+1)² qui est un carré.

Mais je crois m'être planté

Bon finalement je pense avoir trouvé

Bonsoir,
je suis preneur pour ta démo.
je ne suis pas chez moi, alors je n'ai pas trop voulu poster.
J'avais aussi trouvé que p divise n²+n+1. Pour la suite, je ne vois pas.
Des entiers de ce type existent ( 7 par exemple, peut être 11 ?), ça évite de partir à la chasse au dahu.
bien le bonsoir.

jeroM > Ok je rédige ma démo ce soir

En espérant que ce soit juste parce que sinon je craque ! J'y ai passé l'après-midi !

Bon voila ce que j'ai fait :

Démonstration

divise , donc après factorisation divise .

Supposons un instant que divise alors . De plus on a divise donc de même .

On a donc les deux égalités suivantes : .

Par soustraction il vient : .

Par ailleurs est premier donc impair (on prend le cas où ). Ainsi est pair et comme alors l'est également. On a alors qui est pair et par conséquent ne divise pas et donc l'hypothèse de départ est fausse.

On a donc démontré que divise .

On a divise donc et il s'en suit de la dernière égalité que .

Comme est un entier naturel on a soit ainsi . Donc donne . On peut alors élever au carré et aboutir à l'inégalité suivante :

. Soit en développant le membre de droite : . Or donc la quantité est négative, donc on peut écrire :

.

En passant à une inégalité stricte : .

Si l'on applique le même raisonnement en partant de donc de alors on aboutit également à .

On a donc et ce qui est impossible donc finalement .

L'égalité s'écrit alors soit .

On en conclut que est un carré. CQFD.

PS : Je vois bien que ma démo n'est pas très rigoureuse, mais je pense avoir cerné l'astuce.

Une première chose, pour aller plus vite.
n divise p-1, donc np-1 et donc n < p.
Alors n-1 < p et alors p ne peut pas diviser n-1.

Pour confirmer: v est l'entier tel que pv = n²+n+1 n'est-ce-pas?

Oui c'est bien ça

Bien vu l'astuce pour aller plus vite

je pense en effet que tu as cerné l'astuce.
pour la démo, ça semble OK. Un truc me chiffonait, c'est le:
v1[n] donne 0 < nv-1.
il me semble que tu dois dire un mot du fait que tu supposes v1 à ce niveau, sinon il y a des contradictions dans la suite. Mais comme c'est ce que tu vas démontrer ensuite, no problemo.

Ok merci Jerom d'avoir vérifié