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nombres complexes et géométrie

Posté par
davidou1209 25-10-07 à 20:04

Voilà un petit exercice qui me pose problème une petite solution serait vraiment cool.

On note "j" le nombre complexe e^(2i(pi)/3) donc cos=2(pi)/3=-1/2 et
sin=2(pi)/3=(racine de 3)/2

Question: Dans un repère orthonormal direct du plan, on considère les points M,N,P d'affixes respectives m,n,p.

a) Montrer que, si le triangle MNP est équilatéral direct, alors m-n=-j²(p-n)

b) Etablir la propriété suivante: Le triangle MNP est équilatéral direct si et seulement si m+nj+pj²=0.

Merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : nombres complexes et géométrie 25-10-07 à 22:01

Bonsoir,

a) Dire que MNP est équilatéral direct revient à dire que M est l' image de P dans la rotation de centre N et d' angle \frac{\pi}{3}.

Soit: m-n=e^{i\frac{\pi}{2}}(p-n)

Or e^{i\frac{\pi}{3}}=-e^{i(\frac{\pi}{3}+\pi)}=-e^{i\frac{4\pi}{3}}=-j^2

d' où m-n=-j^2(p-n)

b) m=-pj^2+n(1+j^2)

or 1+j^2=1+e^{i\frac{4\pi}{3}}=e^{i\frac{2\pi}{3}}(e^{i\frac{2\pi}{3}}+e^{-i\frac{2\pi}{3}})=2cos\,\frac{2\pi}{3}.e^{i\frac{2\pi}{3}}=-j

d' où m+nj+pj^2=0 est une CNS pour que MNP soit équilatéral direct.

Posté par
davidou1209re : nombres complexes et géométrie 26-10-07 à 17:05

merci pour le développement j'étais un peu perdu c'est vraiment sympa.

Posté par
davidou1209re : nombres complexes et géométrie 26-10-07 à 17:06

juste une petite question. Comment est-ce que jepeut faire les (pi) sur l'ordinateur ça me serait fort utile. Merci

Posté par
cailloux Correcteurre : nombres complexes et géométrie 26-10-07 à 17:10

Re,

2 solutions:

1) Tu cliques en bas de la fenêtre d' édition sur le bouton \fbox{\pi}. Une séries de symboles apparaît.

2) Tu te mets au \LaTeX en regardant ici: [lien]

Dans les 2 cas pense à faire un "Aperçu" avant de poster...

Posté par
davidou1209re : nombres complexes et géométrie 26-10-07 à 17:11

merci du truc! bonne soirée

Posté par
cailloux Correcteurre : nombres complexes et géométrie 26-10-07 à 17:12

Bonne soirée à toi


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